Завдання № 26.18. § 26. Взаємне розміщення прямих у просторі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Скільки різних прямих визначають усі пари вершин куба?

Покроковий розв’язок:

1. Властивість прямої в просторі

За основною аксіомою стереометрії, через будь-які дві різні точки простору можна провести пряму, і до того ж тільки одну.

Куб має $8$ вершин. Перевіримо, чи можуть деякі прямі збігатися (тобто чи лежать якісь три вершини куба на одній прямій):

• Будь-які три вершини куба або належать одній грані (утворюючи прямокутний рівнобедрений трикутник), або належать діагональному перерізу, або лежать у різних площинах.
• Отже, жодні три вершини куба не лежать на одній прямій.

Це означає, що кожна пара вершин визначає свою власну унікальну пряму, і жодні прямі не накладаються одна на одну.

2. Комбінаторний підрахунок кількості прямих

Кількість способів обрати пару вершин із $8$ наявних дорівнює числу комбінацій із $8$ елементів по $2$:
$C_8^2=\frac{8\cdot 7}{2\cdot 1}=28$

3. Класифікація отриманих прямих за їхнім геометричним змістом

Усі $28$ прямих можна розділити на три групи:

• Прямі, що містять ребра куба: у куба $12$ ребер, тому вони визначають $12$ прямих;
• Прямі, що містять діагоналі граней: куб має $6$ граней, кожна грань містить $2$ діагоналі, тобто $6\cdot 2=12$ прямих;
• Прямі, що містять просторові діагоналі куба: куб має $4$ просторові діагоналі ($A{C}_1$, $B{D}_1$, $C{A}_1$, $D{B}_1$), які визначають $4$ прямі.

Загальна кількість прямих:
$12+12+4=28$

Відповідь: $28$ прямих.