Завдання № 26.17. § 26. Взаємне розміщення прямих у просторі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Прямі $a$ і $b$ паралельні. Пряма $c$ перетинає пряму $a$. Яким може бути взаємне розміщення прямих $c$ і $b$? Розгляньте усі можливі випадки. До кожного зробіть малюнок.

Покроковий розв’язок:

За означенням паралельних прямих, дві паралельні прямі $a$ і $b$ лежать в одній площині. Позначимо цю площину через $\alpha$.

За умовою задачі пряма $c$ перетинає пряму $a$ в деякій точці $M$, тобто $c\cap a=M$. Оскільки точка $M$ належить прямій $a$, а пряма $a$ лежить у площині $\alpha$, то точка $M$ також належить площині $\alpha$ ($M\in \alpha$).

У просторі можливі два випадки взаємного розміщення прямої $c$ та площини $\alpha$.

1. Пряма $c$ лежить у площині $\alpha$ ($c\subset \alpha$)

У цьому випадку всі три прямі $a$, $b$ і $c$ лежать в одній площині $\alpha$. За теоремою планіметрії про перетин паралельних прямих: якщо на площині пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає і другу.

Оскільки $a\parallel b$ та пряма $c$ перетинає пряму $a$, то пряма $c$ обов’язково перетинає і пряму $b$ у деякій точці $K$.

Отже, у цьому випадку прямі $c$ і $b$ перетинаються.

2. Пряма $c$ не лежить у площині $\alpha$ ($c\not\subset \alpha$)

Якщо пряма не лежить у площині, але має з нею спільну точку $M$, то за аксіомою стереометрії ця пряма перетинає площину $\alpha$ в єдиній точці $M$, тобто $c\cap \alpha =M$.

Оскільки прямі $a$ і $b$ паралельні, вони не мають спільних точок ($a\cap b=\varnothing$), тому точка $M$, яка належить прямій $a$, не належить прямій $b$ ($M\notin b$).

За ознакою мимобіжних прямих: якщо одна з двох прямих лежить у площині, а друга перетинає цю площину в точці, яка не належить першій прямій, то ці прямі є мимобіжними. Пряма $b$ лежить у площині $\alpha$, а пряма $c$ перетинає $\alpha$ в точці $M$, яка не належить прямій $b$.

Отже, у цьому випадку прямі $c$ і $b$ є мимобіжними.

Відповідь:
Прямі $c$ і $b$ перетинаються або є мимобіжними.