Завдання № 26.16. § 26. Взаємне розміщення прямих у просторі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Прямі $a$ і $b$ не лежать в одній площині, та прямі $b$ і $c$ не лежать в одній площині. Яким може бути взаємне розміщення прямих $a$ і $c$? Розгляньте усі можливі випадки. До кожного зробіть малюнок.

Покроковий розв’язок:

За означенням, прямі, які не лежать в одній площині, називаються мимобіжними. Отже, за умовою:

• прямі $a$ і $b$ — мимобіжні;
• прямі $b$ і $c$ — мимобіжні.

Для дослідження взаємного розміщення прямих $a$ і $c$ скористаємося моделлю куба $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1$. Нехай пряма $b$ містить вертикальне ребро $C{C}_1$, а пряма $a$ містить нижнє переднє ребро $AB$.

Перевіримо умову для прямих $a$ і $b$: пряма $a$ ($AB$) лежить у площині нижньої основи $ABCD$, а пряма $b$ ($C{C}_1$) перетинає цю площину в точці $C$, яка не належить прямій $AB$ ($C\notin AB$). За ознакою мимобіжних прямих, прямі $a$ і $b$ є мимобіжними, що повністю відповідає умові.

Між прямими $a$ і $c$ можливі всі основні випадки взаємного розміщення прямих у просторі:

1. Прямі $a$ і $c$ паралельні ($a\parallel c$)
Нехай пряма $c$ містить верхнє переднє ребро $A_1{B}_1$.

• Оскільки грань $AB{B}_1{A}_1$ — квадрат, протилежні сторони паралельні: $AB\parallel A_1{B}_1$, тобто $a\parallel c$.
• Пряма $c$ ($A_1{B}_1$) лежить у площині $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$, а пряма $b$ ($C{C}_1$) перетинає цю площину в точці $C_1$, яка не належить прямій $A_1{B}_1$ ($C_1\notin A_1{B}_1$). Отже, за ознакою мимобіжних прямих, прямі $b$ і $c$ є мимобіжними.

2. Прямі $a$ і $c$ перетинаються ($a\cap c=\{A\}$)
Нехай пряма $c$ містить нижнє бічне ребро $AD$.

• Прямі $a$ ($AB$) і $c$ ($AD$) лежать в одній площині $ABCD$ та перетинаються в точці $A$.
• Пряма $c$ ($AD$) лежить у площині $ABCD$, а пряма $b$ ($C{C}_1$) перетинає цю площину в точці $C\notin AD$. Отже, прямі $b$ і $c$ є мимобіжними.

(Зверніть увагу: пряму $c$ не можна обирати вздовж ребра $A{A}_1$, оскільки ребра $A{A}_1$ та $C{C}_1$ паралельні, тобто лежали б в одній площині, що суперечило б умові мимобіжності $b$ і $c$).

3. Прямі $a$ і $c$ мимобіжні
Нехай пряма $c$ містить верхнє бічне ребро $A_1{D}_1$.

• Пряма $a$ ($AB$) лежить у площині $ABCD$, а пряма $c$ ($A_1{D}_1$) перетинає площину $A{A}_1{D}_{1}D$ у точці $A_1\notin AB$ і не паралельна прямій $a$. Відповідно, прямі $a$ і $c$ не лежать в одній площині, тобто є мимобіжними.
• Пряма $c$ ($A_1{D}_1$) лежить у площині $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$, а пряма $b$ ($C{C}_1$) перетинає цю площину в точці $C_1\notin A_1{D}_1$. Отже, прямі $b$ і $c$ також мимобіжні.

(Якщо не вимагається, щоб прямі $a$ і $c$ були обов’язково різними, вони також можуть збігатися: $a=c$, оскільки пряма $a$ вже є мимобіжною до $b$).

Ілюстрація всіх можливих випадків взаємного розміщення прямих $a$ і $c$:

Відповідь:
Прямі $a$ і $c$ можуть бути паралельними ($a\parallel c$), перетинатися ($a\cap c\ne \varnothing$), бути мимобіжними або збігатися ($a=c$).