Завдання № 26.15. § 26. Взаємне розміщення прямих у просторі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Прямі $AB$, $AC$ і $AD$ попарно перпендикулярні. Знайдіть довжину відрізка $BD$, якщо:

1) $BC=17\text{ см}$, $AC=15\text{ см}$, $AD=6\text{ см}$;

2) $AB=5\text{ см}$, $BC=9\text{ см}$, $DC=16\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

Оскільки прямі $AB$, $AC$ і $AD$ попарно перпендикулярні ($AB\perp AC$, $AB\perp AD$, $AC\perp AD$), то утворені трикутники $△ABC$, $△ABD$ і $△ACD$ є прямокутними з прямими кутами при вершині $A$:
$\angle BAC=90^{\circ },\angle BAD=90^{\circ },\angle CAD=90^{\circ }$

1. Випадок 1: $BC=17\text{ см}$, $AC=15\text{ см}$, $AD=6\text{ см}$

Розглянемо прямокутний трикутник $△ABC$ ($\angle BAC=90^{\circ }$). За теоремою Піфагора:
$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2⟹A{B}^2=B{C}^2-A{C}^2$

Підставимо відомі значення:
$A{B}^2=17^2-15^2=289-225=64$
$AB=\sqrt{64}=8\text{ см}$

Розглянемо прямокутний трикутник $△ABD$ ($\angle BAD=90^{\circ }$). За теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу $BD$:
$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2$
$B{D}^2=8^2+6^2=64+36=100$
$BD=\sqrt{100}=10\text{ см}$

2. Випадок 2: $AB=5\text{ см}$, $BC=9\text{ см}$, $DC=16\text{ см}$

Розглянемо прямокутний трикутник $△ABC$ ($\angle BAC=90^{\circ }$). За теоремою Піфагора знайдемо квадрат катета $AC$:
$A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2$
$A{C}^2=9^2-5^2=81-25=56$

Розглянемо прямокутний трикутник $△ACD$ ($\angle CAD=90^{\circ }$). Гіпотенузою є відрізок $CD=16\text{ см}$. За теоремою Піфагора знайдемо квадрат катета $AD$:
$A{D}^2=D{C}^2-A{C}^2$
$A{D}^2=16^2-56=256-56=200$

Розглянемо прямокутний трикутник $△ABD$ ($\angle BAD=90^{\circ }$). За теоремою Піфагора визначимо шукану гіпотенузу $BD$:
$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2$
$B{D}^2=5^2+200=25+200=225$
$BD=\sqrt{225}=15\text{ см}$

Відповідь: 1) $10\text{ см}$; 2) $15\text{ см}$.