Завдання № 26.14. § 26. Взаємне розміщення прямих у просторі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Прямі $AB$, $AC$ і $AD$ попарно перпендикулярні. Знайдіть довжину відрізка $BC$, якщо:

1) $AD=6\text{ см}$, $DC=14\text{ см}$, $AB=3\text{ см}$;

2) $BD=4,5\text{ см}$, $CD=8\text{ см}$, $AB=2,5\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

Оскільки прямі $AB$, $AC$ і $AD$ попарно перпендикулярні, будь-які дві з них утворюють прямий кут:
$AB\perp AC⟹\angle BAC=90^{\circ }$
$AC\perp AD⟹\angle CAD=90^{\circ }$
$AB\perp AD⟹\angle BAD=90^{\circ }$

Таким чином, трикутники $△ABC$, $△ADC$ та $△ADB$ є прямокутними з прямими кутами при спільній вершині $A$.

1. Розв’язання для першого випадку

Дано: $AD=6\text{ см}$, $DC=14\text{ см}$, $AB=3\text{ см}$.

1) Розглянемо прямокутний трикутник $△ADC$ ($\angle CAD=90^{\circ }$). За теоремою Піфагора:
$A{C}^2+A{D}^2=D{C}^2⟹A{C}^2=D{C}^2-A{D}^2$
$A{C}^2=14^2-6^2=196-36=160$

2) Розглянемо прямокутний трикутник $△ABC$ ($\angle BAC=90^{\circ }$). За теоремою Піфагора:
$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$
Підставимо значення $AB=3\text{ см}$ та вираз для $A{C}^2$:
$B{C}^2=3^2+160=9+160=169$
$BC=\sqrt{169}=13\text{ см}$

2. Розв’язання для другого випадку

Дано: $BD=4,5\text{ см}$, $CD=8\text{ см}$, $AB=2,5\text{ см}$.

1) Розглянемо прямокутний трикутник $△ADB$ ($\angle BAD=90^{\circ }$). За теоремою Піфагора:
$A{D}^2+A{B}^2=B{D}^2⟹A{D}^2=B{D}^2-A{B}^2$
$A{D}^2=4,5^2-2,5^2=(4,5-2,5)\cdot (4,5+2,5)=2\cdot 7=14$

2) Розглянемо прямокутний трикутник $△ADC$ ($\angle CAD=90^{\circ }$). За теоремою Піфагора:
$A{C}^2=C{D}^2-A{D}^2$
$A{C}^2=8^2-14=64-14=50$

3) Розглянемо прямокутний трикутник $△ABC$ ($\angle BAC=90^{\circ }$). За теоремою Піфагора:
$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$
$B{C}^2=2,5^2+50=6,25+50=56,25$
$BC=\sqrt{56,25}=7,5\text{ см}$

Відповідь:

1) $13\text{ см}$;

2) $7,5\text{ см}$.