Завдання № 26.13. § 26. Взаємне розміщення прямих у просторі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Точка $M$ не належить площині, що проходить через точки $A$, $B$ і $C$, які не лежать на одній прямій. Доведіть, що прямі $MA$ і $BC$ мимобіжні.

Покроковий розв’язок:

1. Використання аксіом стереометрії
За умовою точки $A$, $B$ і $C$ не лежать на одній прямій. Згідно з основною аксіомою стереометрії, через будь-які три точки, які не лежать на одній прямій, проходить площина, і до того ж тільки одна. Позначимо цю площину як $\alpha$.

За умовою точка $M$ не належить цій площині ($M\notin \alpha$).

2. Доведення методом від супротивного
Припустимо супротивне: прямі $MA$ і $BC$ лежать в одній деякій площині $\beta$.

Якщо пряма лежить у площині, то кожна її точка належить цій площині:

• Оскільки пряма $MA$ лежить у площині $\beta$, то точки $M$ і $A$ належать $\beta$ ($M\in \beta$, $A\in \beta$).
• Оскільки пряма $BC$ лежить у площині $\beta$, то точки $B$ і $C$ належать $\beta$ ($B\in \beta$, $C\in \beta$).

Отже, площина $\beta$ містить усі три точки $A$, $B$ і $C$.

3. Отримання суперечності
Оскільки через три точки $A$, $B$ і $C$, які не лежать на одній прямій, можна провести лише одну площину, то площина $\beta$ обов’язково збігається з площиною $\alpha$ ($\beta =\alpha$).

Проте точка $M$ належить площині $\beta$, а отже, має належати і площині $\alpha$ ($M\in \alpha$). Це суперечить умові задачі, згідно з якою точка $M$ не належить площині $\alpha$.

4. Висновок
Отримане протиріччя спростовує наше припущення. Отже, прямі $MA$ і $BC$ не можуть лежати в одній площині.

За означенням, дві прямі в просторі, які не лежать в одній площині, є мимобіжними. Таким чином, прямі $MA$ і $BC$ мимобіжні, що й треба було довести.

(Примітка: факт також безпосередньо випливає з ознаки мимобіжних прямих: якщо пряма $BC$ лежить у площині $\alpha$, а пряма $MA$ перетинає площину $\alpha$ в точці $A$, яка не належить прямій $BC$, то прямі $MA$ і $BC$ мимобіжні).

Відповідь:
Доведено.