Завдання № 26.12. § 26. Взаємне розміщення прямих у просторі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Прямі $AB$ і $CD$ мимобіжні. Доведіть, що прямі $AC$ і $BD$ мимобіжні.

Покроковий розв’язок:

За означенням, дві прямі в просторі називаються мимобіжними, якщо вони не лежать в одній площині (тобто не перетинаються і не є паралельними).

Доведемо твердження методом від супротивного:

1. Припущення супротивного
Припустимо, що прямі $AC$ і $BD$ не є мимобіжними. Це означає, що вони лежать в одній площині. Позначимо цю площину через $\alpha$.

2. Аналіз розташування точок у площині

• Оскільки пряма $AC$ лежить у площині $\alpha$, то за аксіомами стереометрії кожна її точка належить цій площині, зокрема точки $A\in \alpha$ та $C\in \alpha$.
• Оскільки пряма $BD$ лежить у площині $\alpha$, то аналогічно точки $B\in \alpha$ та $D\in \alpha$.

Таким чином, усі чотири точки $A$, $B$, $C$ і $D$ лежать в одній площині $\alpha$.

3. Отримання суперечності

• Оскільки точки $A\in \alpha$ і $B\in \alpha$, то за основною властивістю прямої і площини вся пряма $AB$ лежить у площині $\alpha$ ($AB\subset \alpha$).
• Оскільки точки $C\in \alpha$ і $D\in \alpha$, то вся пряма $CD$ також лежить у площині $\alpha$ ($CD\subset \alpha$).

Звідси випливає, що прямі $AB$ і $CD$ лежать в одній площині $\alpha$. Проте це прямо суперечить умові задачі, за якою прямі $AB$ і $CD$ є мимобіжними.

4. Висновок
Отримане протиріччя показує, що наше припущення було хибним. Отже, прямі $AC$ і $BD$ не можуть лежати в одній площині, тобто вони є мимобіжними.

Відповідь:
Доведено, що прямі $AC$ і $BD$ мимобіжні.