Завдання № 26.10. § 26. Взаємне розміщення прямих у просторі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Назвіть на малюнку 26.3 три прямі, мимобіжні із прямою $D{D}_1$.

Покроковий розв’язок:

1. Означення та ознака мимобіжних прямих
Дві прямі в просторі називають мимобіжними, якщо вони не лежать в одній площині (тобто не перетинаються і не є паралельними). За ознакою мимобіжності: якщо одна пряма лежить у площині, а інша перетинає цю площину в точці, яка не належить першій прямій, то такі прямі є мимобіжними.

2. Аналіз взаємного розміщення прямих куба відносно прямої $D{D}_1$

• Прямі, паралельні до прямої $D{D}_1$, це прямі бічних ребер: $A{A}_1$, $B{B}_1$, $C{C}_1$.
• Прямі, що перетинають пряму $D{D}_1$:
  • у точці $D$: прямі $DA$ та $DC$;
  • у точці $D_1$: прямі $D_1{A}_1$ та $D_1{C}_1$.

3. Пошук мимобіжних прямих
Розглянемо ребра, що не мають спільних точок із прямою $D{D}_1$ і не є паралельними їй:

• Пряма $AB$ лежить у площині основи $ABC$, а пряма $D{D}_1$ перетинає цю площину в точці $D$, яка не належить прямій $AB$. Отже, прямі $D{D}_1$ та $AB$ — мимобіжні.
• Пряма $BC$ лежить у площині $ABC$, а пряма $D{D}_1$ перетинає її в точці $D\notin BC$. Отже, прямі $D{D}_1$ та $BC$ — мимобіжні.
• Пряма $A_1{B}_1$ лежить у площині верхньої основи $A_1{B}_1{C}_1$, яку пряма $D{D}_1$ перетинає в точці $D_1\notin A_1{B}_1$. Отже, прямі $D{D}_1$ та $A_1{B}_1$ — мимобіжні.
• Пряма $B_1{C}_1$ лежить у площині $A_1{B}_1{C}_1$, яку пряма $D{D}_1$ перетинає в точці $D_1\notin B_1{C}_1$. Отже, прямі $D{D}_1$ та $B_1{C}_1$ — мимобіжні.

Таким чином, прямими, що містять ребра многогранника і є мимобіжними з $D{D}_1$, є $AB$, $BC$, $A_1{B}_1$, $B_1{C}_1$. Для відповіді достатньо вказати будь-які три з них.

Відповідь:
$AB$, $BC$, $A_1{B}_1$ (або будь-які три з прямих $AB$, $BC$, $A_1{B}_1$, $B_1{C}_1$).