Завдання № 26.1. § 26. Взаємне розміщення прямих у просторі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

На малюнку зображено прямокутний паралелепіпед $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$.

1) Назвіть усі ребра, паралельні ребру $A_1{D}_1$.

2) Визначте взаємне розміщення прямих $AB$ і $B{B}_1$, $AB$ і $DC$, $AB$ і $C{C}_1$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження ребер, паралельних ребру $A_1{D}_1$

У прямокутному паралелепіпеді всі грані є прямокутниками, а їхні протилежні сторони — паралельними відрізками:

• У грані $A{A}_1{D}_{1}D$ сторона $A_1{D}_1$ паралельна стороні $AD$ ($A_1{D}_1\parallel AD$).
• У грані $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ сторона $A_1{D}_1$ паралельна стороні $B_1{C}_1$ ($A_1{D}_1\parallel B_1{C}_1$).
• Оскільки $AD\parallel BC$ у грані $ABCD$, то за транзитивністю паралельності прямих у просторі ребро $A_1{D}_1$ також паралельне ребру $BC$ ($A_1{D}_1\parallel BC$).

Отже, паралельними ребру $A_1{D}_1$ є ребра: $AD$, $B_1{C}_1$, $BC$.

2. Взаємне розміщення прямих

• Прямі $AB$ і $B{B}_1$:
  Прямі лежать в одній площині грані $AB{B}_1{A}_1$ та мають спільну точку $B$. Отже, вони перетинаються в точці $B$ (оскільки грань є прямокутником, вони перетинаються під прямим кутом, тобто $AB\perp B{B}_1$).

• Прямі $AB$ і $DC$:
  Прямі містять протилежні сторони прямокутника $ABCD$, лежать в одній площині та не перетинаються. Отже, прямі $AB$ і $DC$ паралельні ($AB\parallel DC$).

• Прямі $AB$ і $C{C}_1$:
  Пряма $C{C}_1$ перетинає площину основи $(ABCD)$ у точці $C$, яка не належить прямій $AB$. За ознакою мимобіжних прямих, якщо одна з двох прямих лежить у деякій площині, а друга перетинає цю площину в точці, що не лежить на першій прямій, то ці прямі є мимобіжними. Отже, прямі $AB$ і $C{C}_1$ — мимобіжні (вони не лежать в одній площині й не перетинаються).

Відповідь:

1) $AD$, $B_1{C}_1$, $BC$.

2) Прямі $AB$ і $B{B}_1$ — перетинаються; прямі $AB$ і $DC$ — паралельні; прямі $AB$ і $C{C}_1$ — мимобіжні.