Завдання № 25. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано трикутник $A B C$ , $A B (3; 4)$ , $B C (- 5; 12)$ , відрізок $B L$ — бісектриса трикутника. Знайдіть координати вектора $B L$ .

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження довжин сторін трикутника

Знайдемо довжини (модулі) векторів $A B$ та $B C$ :
$∣ A B ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$
$∣ B C ∣ = (- 5)^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 13$

Отже, довжини сторін дорівнюють $A B = 5$ та $B C = 13$ .

2. Застосування властивості бісектриси трикутника

За властивістю бісектриси кута трикутника, бісектриса $B L$ ділить протилежну сторону $A C$ на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам:
$\frac{A L}{L C} = \frac{A B}{B C} = \frac{5}{13}$

Оскільки точка $L$ належить відрізку $A C$ , то відрізок $A L$ становить $\frac{5}{5 + 13} = \frac{5}{18}$ усієї сторони $A C$ , а відрізок $L C$ становить $\frac{13}{18}$ сторони $A C$ .

Звідси для співнапрямлених векторів $A L$ і $A C$ маємо:
$A L = \frac{5}{18} \cdot A C$

3. Вираження вектора $A C$ через відомі вектори

За правилом додавання векторів:
$A C = A B + B C$

Обчислимо координати вектора $A C$ :
$A C = (3 + (- 5); 4 + 12) = (- 2; 16)$

4. Обчислення координат вектора $B L$

За правилом трикутника для додавання векторів:
$B L = B A + A L = - A B + \frac{5}{18} \cdot A C$

Координати вектора $B A = - A B = (- 3; - 4)$ .

Знайдемо координати вектора $\frac{5}{18} \cdot A C$ :
$\frac{5}{18} \cdot (- 2; 16) = (\frac{5 \cdot ( - 2 )}{18}; \frac{5 \cdot 16}{18}) = (- \frac{5}{9}; \frac{40}{9})$

Тепер обчислимо суму векторів для знаходження $B L$ :

B L = (- 3 + (- \frac{5}{9}); - 4 + \frac{40}{9}) = (- \frac{27}{9} - \frac{5}{9}; - \frac{36}{9} + \frac{40}{9}) = (- \frac{32}{9}; \frac{4}{9}) = (- 3 \frac{5}{9}; \frac{4}{9})

Відповідь: $(- 3 \frac{5}{9}; \frac{4}{9})$ (або $(- \frac{32}{9}; \frac{4}{9})$ ).

Завдання № 25. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку