Завдання № 25. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Кути трикутника пропорційні числам $1$, $2$, $3$. Знайдіть відношення сторін трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження величин кутів трикутника

Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює $x$. Тоді градусні міри кутів трикутника дорівнюють $1x$, $2x$ та $3x$.

Оскільки сума кутів будь-якого трикутника дорівнює $180^{\circ }$, складемо рівняння:
$x+2x+3x=180^{\circ }$
$6x=180^{\circ }$
$x=30^{\circ }$

Звідси отримуємо кути трикутника:

• перший кут: $\alpha =1\cdot 30^{\circ }=30^{\circ }$;
• другий кут: $\beta =2\cdot 30^{\circ }=60^{\circ }$;
• третій кут: $\gamma =3\cdot 30^{\circ }=90^{\circ }$.

Трикутник є прямокутним.

2. Знаходження відношення сторін за теоремою синусів

За теоремою синусів сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:
$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$

Отже, відношення сторін $a:b:c$ дорівнює відношенню синусів відповідних кутів:
$a:b:c=\sin 30^{\circ }:\sin 60^{\circ }:\sin 90^{\circ }$

Підставимо відомі значення тригонометричних функцій:

• $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$
• $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\sin 90^{\circ }=1=\frac{2}{2}$

Отримуємо:
$a:b:c=\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}:1$

Помноживши всі члени відношення на $2$, маємо:
$a:b:c=1:\sqrt{3}:2$

Відповідь: $1:\sqrt{3}:2$