Завдання № 25. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано вектори $\overrightarrow{a}(2;-1)$, $\overrightarrow{b}(3;5)$ та $\overrightarrow{c}(x;y)$. Відомо, що $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$. Знайдіть значення $x$ та $y$.

Покроковий розв’язок:

1. Правило додавання векторів за координатами
При додаванні кількох векторів їхні відповідні координати додаються. Тобто абсциса суми дорівнює сумі абсцис усіх векторів, а ордината суми — сумі їхніх ординат:

Спростимо вирази для кожної координати:

2. Використання властивості нульового вектора
За умовою сума даних трьох векторів дорівнює нульовому вектору $\overrightarrow{0}$. Оскільки нульовий вектор має координати $(0;0)$, координати суми векторів мають дорівнювати нулю:

Складаємо систему лінійних рівнянь для знаходження невідомих $x$ та $y$:

Розв’язуємо кожне рівняння окремо:

Отже, вектор $\overrightarrow{c}$ має координати $(-5;-4)$.

3. Геометрична інтерпретація
Рівність $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ геометрично означає, що при послідовному відкладанні векторів один за одним кінець останнього вектора $\overrightarrow{c}$ збігається з початком першого вектора $\overrightarrow{a}$, утворюючи замкнений трикутник:

Відповідь:
$x=-5$, $y=-4$