Завдання № 25. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Два кути паралелограма відносяться як $4:5$. Знайдіть кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини гострого кута.

Покроковий розв’язок:

1. Знайдемо градусні міри кутів паралелограма

Нехай дано паралелограм $ABCD$, у якого $\angle A$ — гострий кут, а $\angle B$ — тупий кут.

Оскільки протилежні кути паралелограма рівні ($\angle A=\angle C$, $\angle B=\angle D$), то відношення $4:5$ стосується двох кутів, що прилягають до однієї сторони (гострого та тупого):

Сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює $180^{\circ }$ (як внутрішні односторонні кути при паралельних прямих $AD\parallel BC$ та січній $AB$).

Введемо коефіцієнт пропорційності $x$. Тоді:

Складемо та розв’яжемо рівняння:

Отже, кути паралелограма становлять:

• гострий кут: $\angle A=\angle C=4\cdot 20^{\circ }=80^{\circ }$;
• тупий кут: $\angle B=\angle D=5\cdot 20^{\circ }=100^{\circ }$.

2. Обчислимо кут між висотами паралелограма

З вершини гострого кута $A$ проведемо висоти:

• $AF\perp BC$ (на продовження сторони $BC$ за точку $B$);
• $AE\perp CD$ (на продовження сторони $CD$ за точку $D$).

Кут між цими висотами — це $\angle FAE$.

Розглянемо чотирикутник $AFCE$:

• За побудовою висот: $\angle AFC=90^{\circ }$ та $\angle AEC=90^{\circ }$.
• Кут $\angle FCE$ паралелограма дорівнює $\angle C=80^{\circ }$.

Сума внутрішніх кутів будь-якого опуклого чотирикутника дорівнює $360^{\circ }$:

Підставимо відомі величини:

Кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини гострого кута, дорівнює тупому куту паралелограма.

Відповідь:
$100^{\circ }$