Назад до розділу • Головний зміст
Умова:
Через точку перетину діагоналей і трапеції () проведено пряму, паралельну основам, яка перетинає бічні сторони і у точках і відповідно. Доведіть, що , де , .
Покроковий розв’язок:
1. Дослідження подібності трикутників при перетині діагоналей
Розглянемо трикутники і .
Оскільки основи трапеції паралельні ():
- (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих і та січній );
- (як внутрішні різносторонні кути при січній ).
Отже, за двома кутами (перша ознака подібності трикутників).
З подібності випливає пропорційність відповідних сторін:
2. Знаходження відношення для відрізка та вираження вектора
Розглянемо . Пряма , отже, .
За лемою про пропорційні відрізки пряма, паралельна стороні трикутника, відтинає від нього подібний трикутник:
Звідси запишемо відношення відповідних сторін:
Виразимо відношення через знайдені раніше співвідношення частин діагоналі:
Тоді обернене відношення дорівнює:
Підставивши його, отримуємо довжину відрізка :
Оскільки відрізок лежить на прямій, паралельній основі , а напрямки векторів та збігаються, вони є співнапрямленими (). Отже:
3. Знаходження відношення для відрізка та вираження вектора
Аналогічно розглянемо . Оскільки , то .
Звідси маємо співвідношення сторін:
Виразимо відношення :
Тоді довжина відрізка :
Вектори та також є співнапрямленими (), тому:
4. Додавання векторів
Точка належить відрізку , тому за правилом додавання векторів:
Підставимо вирази векторів та :
Рівність повністю доведено.
Відповідь:
Доведено, що .