Завдання № 24. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Периметр трикутника дорівнює $32\text{ см}$. Сторони трикутника, утвореного середніми лініями даного, відносяться як $4:7:5$. Знайдіть сторони заданого трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Властивість середньої лінії трикутника
За означенням та властивістю середньої лінії трикутника, відрізок, що сполучає середини двох сторін, паралельний до третьої сторони, а його довжина дорівнює половині цієї сторони:
$m=\frac{a}{2}⟹a=2\cdot m$
де $m$ — середня лінія, а $a$ — відповідна сторона трикутника.

Звідси випливає, що кожна сторона вихідного трикутника вдвічі довша за відповідну середню лінію.

2. Складання рівняння для знаходження сторін
Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює $x$ ($x>0$).
Тоді сторони трикутника, утвореного середніми лініями, дорівнюють:
$4x\text{ см},7x\text{ см},5x\text{ см}$

Оскільки сторони заданого трикутника вдвічі більші за відповідні середні лінії, маємо:
$a=2\cdot 4x=8x\text{ см}$
$b=2\cdot 7x=14x\text{ см}$
$c=2\cdot 5x=10x\text{ см}$

Периметр заданого трикутника дорівнює сумі його сторін:
$P=a+b+c$
$8x+14x+10x=32$
$32x=32$
$x=1\text{ см}$

3. Обчислення довжин сторін
Підставимо значення $x=1$ у вирази для сторін трикутника:
$a=8\cdot 1=8\text{ см}$
$b=14\cdot 1=14\text{ см}$
$c=10\cdot 1=10\text{ см}$

Відповідь:
$8\text{ см}$, $10\text{ см}$, $14\text{ см}$.