Завдання № 24.9. § 24. Площі подібних фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторона одного квадрата дорівнює діагоналі іншого квадрата. Як відносяться площі цих квадратів?

Покроковий розв’язок:

1. Вираження площі першого квадрата

Нехай сторона першого квадрата дорівнює $a$. Тоді його площа обчислюється за формулою:
$S_1=a^2$

2. Вираження площі другого квадрата

За умовою задачі, діагональ другого квадрата дорівнює стороні першого квадрата, тобто:
$d_2=a$

Оскільки квадрат є ромбом із рівними взаємно перпендикулярними діагоналями ($d_1=d_2=a$), його площу можна знайти як половину добутку діагоналей:
$S_2=\frac{1}{2}\cdot d_2^2=\frac{1}{2}\cdot a^2=\frac{a^2}{2}$

(Цей самий результат можна отримати через сторону другого квадрата $b$: оскільки діагональ квадрата $d_2=b\sqrt{2}=a$, маємо $b=\frac{a}{\sqrt{2}}$, звідки $S_2=b^2={\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)}^2=\frac{a^2}{2}$).

3. Знаходження відношення площ

Знайдемо відношення площі першого квадрата до площі другого:
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{a^2}{\frac{a^2}{2}}=a^2\cdot \frac{2}{a^2}=\frac{2}{1}=2:1$

Відповідно, відношення площі меншого квадрата до більшого становить $1:2$.

Відповідь: $2:1$ (або $1:2$).