Завдання № 24.8. § 24. Площі подібних фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Площі двох квадратів відносяться як $9 : 4$ . Як відносяться діагоналі цих квадратів?

Покроковий розв’язок:

Спосіб 1. Через подібність фігур

Будь-які два квадрати подібні між собою. Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності $k^{2}$ , де коефіцієнт подібності $k$ — це відношення будь-яких відповідних лінійних елементів (сторін, периметрів або діагоналей).

Нехай $S_{1}$ і $S_{2}$ — площі квадратів, а $d_{1}$ і $d_{2}$ — їхні відповідні діагоналі.

Оскільки відношення площ дорівнює квадрату відношення діагоналей:

\frac{S _{1}}{S _{2}} = (\frac{d _{1}}{d _{2}})^{2}

За умовою задачі $\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{9}{4}$ , тому:

(\frac{d _{1}}{d _{2}})^{2} = \frac{9}{4}

Звідси знаходимо відношення діагоналей:

\frac{d _{1}}{d _{2}} = \frac{9}{4} = \frac{3}{2}

Спосіб 2. За формулою площі квадрата через діагональ

Площу довільного квадрата можна обчислити через довжину його діагоналі $d$ за формулою:

S = \frac{1}{2} \cdot d^{2}

Запишемо відношення площ для двох квадратів з діагоналями $d_{1}$ та $d_{2}$ :

\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot d _{1}^{2}}{\frac{1}{2} \cdot d _{2}^{2}} = \frac{d _{1}^{2}}{d _{2}^{2}} = (\frac{d _{1}}{d _{2}})^{2}

Підставимо значення відношення площ:

\frac{9}{4} = (\frac{d _{1}}{d _{2}})^{2} ⟹ \frac{d _{1}}{d _{2}} = \frac{3}{2}

Отже, діагоналі квадратів відносяться як $3 : 2$ .

Відповідь:
$3 : 2$ .

Завдання № 24.8. § 24. Площі подібних фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку