Завдання № 24.6. § 24. Площі подібних фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Площі двох подібних многокутників відносяться як $7:9$. Як відносяться їхні відповідні лінійні розміри?

Покроковий розв’язок:

1. Теоретичне обґрунтування
За теоремою про площі подібних многокутників, відношення площ двох подібних многокутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності $k$ (або квадрату відношення їхніх відповідних лінійних розмірів):

де $S_1$ і $S_2$ — площі многокутників, а $k=\frac{a_1}{a_2}$ — відношення відповідних лінійних розмірів (сторін, висот, периметрів тощо).

2. Обчислення відношення лінійних розмірів
За умовою задачі відношення площ дорівнює:

Тоді квадрат коефіцієнта подібності дорівнює:

Оскільки коефіцієнт подібності та лінійні розміри є додатними величинами ($k>0$), знаходимо $k$:

Отже, відношення відповідних лінійних розмірів цих многокутників становить $\frac{\sqrt{7}}{3}$, тобто $\sqrt{7}:3$.

Відповідь:
$\sqrt{7}:3$ (або $\frac{\sqrt{7}}{3}$).