Завдання № 24.4. § 24. Площі подібних фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторони двох правильних шестикутників відносяться як $5:3$. Як відносяться їхні площі?

Покроковий розв’язок:

1. Властивість подібності правильних многокутників

Будь-які два правильні $n$-кутники з однаковою кількістю сторін є подібними, оскільки:

• усі внутрішні кути правильного шестикутника рівні між собою і становлять:
  $\frac{(6-2)\cdot 180^{\circ }}{6}=\frac{4\cdot 180^{\circ }}{6}=120^{\circ }$
• усі сторони кожного правильного шестикутника рівні, тому відповідні сторони є пропорційними.

Отже, дані правильні шестикутники подібні.

2. Визначення коефіцієнта подібності

Коефіцієнт подібності $k$ дорівнює відношенню відповідних сторін шестикутників:
$k=\frac{a_1}{a_2}=\frac{5}{3}$

3. Знаходження відношення площ

За теоремою про площі подібних многокутників, площі подібних фігур відносяться як квадрат їхнього коефіцієнта подібності:
$\frac{S_1}{S_2}=k^2$

Підставимо значення коефіцієнта подібності:
$\frac{S_1}{S_2}={\left(\frac{5}{3}\right)}^2=\frac{25}{9}$

Отже, площі відносяться як $25:9$.

Відповідь: $25:9$ (або $\frac{25}{9}$).