Завдання № 24.22. § 24. Площі подібних фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Спільну хорду двох кіл, що перетинаються, видно з їх центрів під кутами $90^{\circ }$ і $60^{\circ }$. Знайдіть радіуси кіл, якщо відстань між їх центрами дорівнює $\sqrt{3}+1$. Скільки випадків слід розглянути?

Покроковий розв’язок:
Нехай спільна хорда двох кіл — відрізок $AB$, центр першого кола — точка $O_1$ (радіус $r$), а центр другого кола — точка $O$ (радіус $R$).

За умовою, хорду видно з центрів під кутами:
$\angle A{O}_{1}B=90^{\circ }$, $\angle AOB=60^{\circ }$.

Оскільки лінія центрів $O{O}_1$ є серединним перпендикуляром до спільної хорди $AB$, вона перетинає відрізок $AB$ у його середині — точці $K$, причому $O{O}_1\perp AB$ і $AK=KB$.

Трикутники $△A{O}_{1}B$ та $△AOB$ є рівнобедреними ($O_{1}A=O_{1}B=r$, $OA=OB=R$), тому висоти $O_{1}K$ та $OK$ є також бісектрисами відповідних кутів:

• $\angle A{O}_{1}K=\frac{1}{2}\angle A{O}_{1}B=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }$;
• $\angle AOK=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }$.

Позначимо половину довжини хорди: $AK=x$.

З прямокутного трикутника $△A{O}_{1}K$ ($\angle AK{O}_1=90^{\circ }$, $\angle A{O}_{1}K=45^{\circ }$):
$O_{1}K=\frac{AK}{\mathrm{tg}45^{\circ }}=\frac{x}{1}=x$
Радіус $r$:
$r=O_{1}A=\frac{AK}{\sin 45^{\circ }}=\frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=x\sqrt{2}$

З прямокутного трикутника $△AOK$ ($\angle AKO=90^{\circ }$, $\angle AOK=30^{\circ }$):
$OK=\frac{AK}{\mathrm{tg}30^{\circ }}=\frac{x}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=x\sqrt{3}$
Радіус $R$:
$R=OA=\frac{AK}{\sin 30^{\circ }}=\frac{x}{\frac{1}{2}}=2x$

Оскільки взаємне розташування центрів кіл відносно прямої $AB$ у тексті не зафіксоване, слід розглянути два випадки:

1) центри кіл лежать по один бік від прямої $AB$;

2) центри кіл лежать по різні боки від прямої $AB$.

Випадок 1. Центри кіл розташовані по один бік від прямої $AB$

Оскільки $OK=x\sqrt{3}>O_{1}K=x$, точка $O_1$ лежить між точками $O$ та $K$. Тоді відстань між центрами:
$O{O}_1=OK-O_{1}K$

За умовою $O{O}_1=\sqrt{3}+1$, тому складаємо рівняння:
$x\sqrt{3}-x=\sqrt{3}+1$
$x(\sqrt{3}-1)=\sqrt{3}+1$
$x=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$

Позбудемося ірраціональності в знаменнику, помноживши чисельник і знаменник на $(\sqrt{3}+1)$:
$x=\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$

Обчислимо радіуси кіл:
$r=x\sqrt{2}=(2+\sqrt{3})\cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{6}$
$R=2x=2\cdot (2+\sqrt{3})=4+2\sqrt{3}$

Випадок 2. Центри кіл розташовані по різні боки від прямої $AB$

У цьому разі основа перпендикуляра — точка $K$ — лежить між центрами кіл $O$ та $O_1$. Відстань між центрами:
$O{O}_1=OK+O_{1}K$

Складаємо рівняння:
$x\sqrt{3}+x=\sqrt{3}+1$
$x(\sqrt{3}+1)=\sqrt{3}+1$
$x=1$

Обчислимо радіуси кіл:
$r=x\sqrt{2}=1\cdot \sqrt{2}=\sqrt{2}$
$R=2x=2\cdot 1=2$

Відповідь: Слід розглянути 2 випадки:

1) $2\sqrt{2}+\sqrt{6}$ і $4+2\sqrt{3}$;

2) $\sqrt{2}$ і $2$.