Завдання № 24.2. § 24. Площі подібних фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторона першого правильного трикутника вдвічі менша від сторони другого. У скільки разів площа другого правильного трикутника більша за площу першого?

Покроковий розв’язок:

Розв’язати задачу можна двома геометричними способами.

Спосіб 1. Через формулу площі правильного трикутника

1. Виразимо сторони трикутників
Нехай сторона першого правильного трикутника дорівнює $a_1=a$. Оскільки сторона першого трикутника вдвічі менша від сторони другого, то сторона другого трикутника вдвічі більша за сторону першого:
$a_2=2a$

2. Застосуємо формулу площі правильного трикутника
Площа правильного трикутника зі стороною $x$ обчислюється за формулою:
$S=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}$

Обчислимо площу першого трикутника:
$S_1=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Обчислимо площу другого трикутника:
$S_2=\frac{(2a{)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4a^2\sqrt{3}}{4}$

3. Знайдемо відношення площ
Щоб дізнатися, у скільки разів площа другого трикутника більша за площу першого, знайдемо їхнє відношення:
$\frac{S_2}{S_1}=\frac{\frac{4a^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}=\frac{4a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{4}{a^2\sqrt{3}}=4$

Спосіб 2. За теоремою про площі подібних фігур

Будь-які два правильні (рівносторонні) трикутники є подібними, оскільки всі їхні відповідні кути дорівнюють по $60^{\circ }$.

Коефіцієнт подібності цих трикутників дорівнює відношенню їхніх відповідних сторін:
$k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2a}{a}=2$

За теоремою про відношення площ подібних многокутників, площі подібних трикутників відносяться як квадрат коефіцієнта подібності:
$\frac{S_2}{S_1}=k^2=2^2=4$

Таким чином, площа другого правильного трикутника більша за площу першого у $4$ рази.

Відповідь:
У $4$ рази.