Завдання № 24.18. § 24. Площі подібних фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Висота трикутника $ABC$, проведена з вершини $C$, дорівнює $6\sqrt{2}\text{ см}$. На якій відстані від вершини $C$ треба провести пряму, паралельну стороні $AB$, щоб ця пряма розділила трикутник на дві рівновеликі частини?

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз умови та властивості площ частин
Нехай $CK\perp AB$ — висота трикутника $ABC$, $CK=6\sqrt{2}\text{ см}$. Пряма $MN$, яка паралельна стороні $AB$, перетинає сторону $AC$ у точці $M$, сторону $BC$ — у точці $N$, а висоту $CK$ — у точці $D$. Оскільки $MN\parallel AB$, то відрізок $CD$ є висотою трикутника $CMN$, проведеною до сторони $MN$.

За умовою пряма ділить трикутник $ABC$ на дві рівновеликі фігури: трикутник $CMN$ та трапецію $AMNB$. Рівновеликість означає рівність їхніх площ:
$S_{△CMN}=S_{AMNB}$

Площа всього трикутника $ABC$ дорівнює сумі площ цих фігур:
$S_{△ABC}=S_{△CMN}+S_{AMNB}=2\cdot S_{△CMN}$

Звідси відношення площ трикутників становить:
$\frac{S_{△ABC}}{S_{△CMN}}=2$

2. Подібність трикутників
Оскільки пряма $MN\parallel AB$, маємо:

• $\angle CMN=\angle CAB$ як відповідні кути при паралельних прямих $MN$ і $AB$ та січній $AC$;
• $\angle CNM=\angle CBA$ як відповідні кути при паралельних прямих $MN$ і $AB$ та січній $BC$.

Отже, $△CMN\sim △CAB$ за двома кутами (перша ознака подібності трикутників).

3. Знаходження відстані $CD$
Площі подібних трикутників відносяться як квадрат коефіцієнта подібності, тобто як квадрат відношення їхніх відповідних лінійних елементів (зокрема, відповідних висот):
$\frac{S_{△ABC}}{S_{△CMN}}={\left(\frac{CK}{CD}\right)}^2$

Підставимо відомі значення у пропорцію:
${\left(\frac{CK}{CD}\right)}^2=2$

$\frac{C{K}^2}{C{D}^2}=2$

$C{D}^2=\frac{C{K}^2}{2}$

Обчислимо довжину відрізка $CD$:
$C{D}^2=\frac{(6\sqrt{2}{)}^2}{2}=\frac{36\cdot 2}{2}=36$

$CD=\sqrt{36}=6\text{ см}$

Таким чином, пряму необхідно провести на відстані $6\text{ см}$ від вершини $C$.

Відповідь:
$6\text{ см}$.