Завдання № 24.17. § 24. Площі подібних фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Пряма, паралельна стороні $AB$ трикутника $ABC$, ділить його на дві рівновеликі фігури. Знайдіть відрізок цієї прямої, що міститься між сторонами $AC$ і $CB$ трикутника, якщо $AB=4\sqrt{2}\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична модель та аналіз площ

Нехай пряма перетинає сторону $AC$ у точці $M$, а сторону $BC$ — у точці $N$. За умовою $MN\parallel AB$.

Пряма $MN$ розбиває трикутник $ABC$ на дві фігури: трикутник $CMN$ та чотирикутник (трапецію) $AMNB$. Оскільки ці фігури рівновеликі, їхні площі рівні між собою:
$S_{△CMN}=S_{AMNB}=S$

Тоді площа всього трикутника $ABC$ дорівнює сумі площ цих двох фігур:
$S_{△ABC}=S_{△CMN}+S_{AMNB}=S+S=2S$

Звідси відношення площ трикутників $CMN$ та $ABC$ становить:
$\frac{S_{△CMN}}{S_{△ABC}}=\frac{S}{2S}=\frac{1}{2}$

2. Доведення подібності трикутників

Розглянемо трикутники $CMN$ та $CAB$:

• Кут $\angle C$ — спільний;
• $\angle CMN=\angle CAB$ як відповідні кути при паралельних прямих $MN\parallel AB$ та січній $AC$.

Отже, за двома кутами (перша ознака подібності):
$△CMN\sim △CAB$

3. Знаходження довжини відрізка $MN$

Відомо, що відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта їхньої подібності (квадрату відношення відповідних сторін):
$\frac{S_{△CMN}}{S_{△CAB}}={\left(\frac{MN}{AB}\right)}^2$

Підставимо значення площ та довжину сторони $AB=4\sqrt{2}\text{ см}$:
$\frac{1}{2}=\frac{M{N}^2}{(4\sqrt{2}{)}^2}$

Піднесемо до квадрата знаменник:
$(4\sqrt{2}{)}^2=4^2\cdot (\sqrt{2}{)}^2=16\cdot 2=32$

Отримуємо пропорцію:
$\frac{1}{2}=\frac{M{N}^2}{32}$

$M{N}^2=\frac{32}{2}=16$

Оскільки довжина відрізка є додатною величиною:
$MN=\sqrt{16}=4\text{ см}$

Відповідь:
$4\text{ см}$.