Завдання № 24.13. § 24. Площі подібних фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Периметри двох подібних многокутників відносяться як $3:4$, а сума їх площ дорівнює $50{\text{ см}}^2$. Знайдіть площу кожного з многокутників.

Покроковий розв’язок:

1. Зв’язок між периметрами та коефіцієнтом подібності
За властивістю подібних многокутників, відношення їхніх периметрів дорівнює коефіцієнту подібності $k$:
$k=\frac{P_1}{P_2}=\frac{3}{4}$

2. Зв’язок між площами та коефіцієнтом подібності
Площі подібних многокутників відносяться як квадрат коефіцієнта подібності:
$\frac{S_1}{S_2}=k^2={\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{9}{16}$

3. Знаходження площ многокутників
Нехай одна пропорційна частина площі дорівнює $x{\text{ см}}^2$ ($x>0$).
Тоді:
$S_1=9\cdot x{\text{ см}}^2,S_2=16\cdot x{\text{ см}}^2$

За умовою задачі сума площ многокутників дорівнює $50{\text{ см}}^2$. Складемо рівняння:
$9\cdot x+16\cdot x=50$
$25\cdot x=50$
$x=\frac{50}{25}$
$x=2$

Обчислимо площу кожного многокутника:
$S_1=9\cdot 2=18{\text{ см}}^2$
$S_2=16\cdot 2=32{\text{ см}}^2$

Перевірка: $18{\text{ см}}^2+32{\text{ см}}^2=50{\text{ см}}^2$, $\frac{18}{32}=\frac{9}{16}={\left(\frac{3}{4}\right)}^2$. Умова виконується повністю.

Відповідь:
$18{\text{ см}}^2$, $32{\text{ см}}^2$.