Завдання № 24.10. § 24. Площі подібних фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Висота одного правильного трикутника дорівнює стороні іншого правильного трикутника. Як відносяться площі цих трикутників?

Покроковий розв’язок:

1. Вираження висоти першого трикутника через його сторону

Нехай сторона першого правильного трикутника $△ABC$ дорівнює $a$.

Оскільки всі кути правильного трикутника дорівнюють $60^{\circ }$, висоту $h$ можна виразити через сторону $a$:
$h=a\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

2. Визначення сторони другого трикутника

За умовою сторона другого правильного трикутника $△DEF$ дорівнює висоті першого, тобто:
$b=h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

3. Знаходження відношення площ

Спосіб 1 (через властивість подібних фігур):
Усі правильні трикутники є подібними між собою: $△ABC\sim △DEF$.

Відношення площ двох подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта їхньої подібності $k$ (тобто квадрату відношення їхніх відповідних лінійних розмірів — сторін):
$k=\frac{a}{b}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

Тоді відношення площі першого трикутника $S_1$ до площі другого трикутника $S_2$:
$\frac{S_1}{S_2}=k^2={\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{4}{3}$

Спосіб 2 (через формулу площі правильного трикутника):
Площа правильного трикутника зі стороною $x$ обчислюється за формулою $S=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}$.

Для першого трикутника:
$S_1=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Для другого трикутника:
$S_2=\frac{b^2\sqrt{3}}{4}=\frac{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{\frac{3a^2}{4}\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{16}$

Знайдемо відношення їхніх площ:
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}:\frac{3a^2\sqrt{3}}{16}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{16}{3a^2\sqrt{3}}=\frac{16}{4\cdot 3}=\frac{4}{3}$

Відповідно, відношення площі другого трикутника до площі першого становить $\frac{S_2}{S_1}=\frac{3}{4}$.

Відповідь:
$4:3$ (або $3:4$).