Завдання № 23. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Чотирикутник $ABCD$ — квадрат, координати вектора сторони дорівнюють $\overrightarrow{AB}(6;8)$. Знайдіть координати векторів $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CD}$ та $\overrightarrow{DA}$.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження вектора $\overrightarrow{CD}$

У квадраті $ABCD$ протилежні сторони паралельні та рівні за довжиною ($AB\parallel CD$ і $AB=CD$).
Вектори $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{CD}$ лежать на паралельних прямих і мають протилежні напрямки:
$\overrightarrow{CD}\uparrow \downarrow \overrightarrow{AB}$
Отже, вектор $\overrightarrow{CD}$ є протилежним до вектора $\overrightarrow{AB}$:
$\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}=-(6;8)=(-6;-8)$

2. Знаходження вектора $\overrightarrow{BC}$

Сусідні сторони квадрата перпендикулярні та рівні між собою ($BC\perp AB$ і $BC=AB$).
Тому вектор $\overrightarrow{BC}$ перпендикулярний до вектора $\overrightarrow{AB}$, а їхні довжини рівні:
$|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AB}|$

Обчислимо довжину вектора $\overrightarrow{AB}$:
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$

Нехай шуканий вектор має координати $\overrightarrow{BC}(x;y)$.
Оскільки вектори перпендикулярні, їхній скалярний добуток дорівнює нулю:
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0⟹6\cdot x+8\cdot y=0$
$3x+4y=0⟹x=-\frac{4}{3}y$

Оскільки довжина вектора дорівнює $10$, маємо:
$|\overrightarrow{BC}{|}^2=x^2+y^2=10^2=100$

Підставимо вираз для $x$:
${\left(-\frac{4}{3}y\right)}^2+y^2=100$
$\frac{16}{9}{y}^2+y^2=100$
$\frac{25}{9}{y}^2=100$
$y^2=\frac{100\cdot 9}{25}=36⟹y=\pm 6$

Знайдемо відповідні значення абсциси $x$:

• Якщо $y=-6$, то $x=-\frac{4}{3}\cdot (-6)=8$. Отримуємо вектор $\overrightarrow{BC}(8;-6)$.
• Якщо $y=6$, то $x=-\frac{4}{3}\cdot 6=-8$. Отримуємо вектор $\overrightarrow{BC}(-8;6)$.

З геометричного розташування вершин квадрата при обході за годинниковою стрілкою (якщо вектор $\overrightarrow{AB}$ спрямований праворуч і вгору, то поворот на кут $90^{\circ }$ за годинниковою стрілкою спрямовує вектор праворуч і вниз):
$\overrightarrow{BC}=(8;-6)$

3. Знаходження вектора $\overrightarrow{DA}$

Сторони $BC$ і $DA$ квадрата паралельні та рівні, а вектори $\overrightarrow{DA}$ та $\overrightarrow{BC}$ напрямлені в протилежні боки:
$\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}$

• Для випадку обходу за годинниковою стрілкою:
  $\overrightarrow{DA}=-(8;-6)=(-8;6)$
• У загальному випадку (при протилежному напрямку обходу вершин):
  $\overrightarrow{BC}(-8;6),\overrightarrow{DA}(8;-6)$

Відповідь:
$\overrightarrow{BC}(8;-6)$, $\overrightarrow{CD}(-6;-8)$, $\overrightarrow{DA}(-8;6)$ (або $\overrightarrow{BC}(-8;6)$, $\overrightarrow{CD}(-6;-8)$, $\overrightarrow{DA}(8;-6)$).