Завдання № 23. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

На кожній зі сторін кута позначили по точці на однаковій відстані від його вершини. Доведіть, що ці точки симетричні відносно прямої, яка містить бісектрису кута.

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична модель та позначення

Нехай дано кут із вершиною $O$.
На його сторонах позначено точки $A$ та $A^{\prime }$ такі, що відстані від вершини до цих точок однакові:
$OA=O{A}^{\prime }$
Проведемо промінь $OK$ — бісектрису кута $\angle AO{A}^{\prime }$. Тоді за означенням бісектриси:
$\angle AOK=\angle A^{\prime }OK$
Нехай пряма $OK$ перетинає відрізок $A{A}^{\prime }$ у точці $C$.

2. Рівність трикутників

Розглянемо трикутники $△AOC$ і $△A^{\prime }OC$:

1) $OA=O{A}^{\prime }$ (за умовою);

2) $\angle AOC=\angle A^{\prime }OC$ (оскільки $OC$ — бісектриса кута $\angle AO{A}^{\prime }$);

3) Сторона $OC$ — спільна.

Отже, $△AOC=△A^{\prime }OC$ за першою ознакою рівності трикутників (за двома сторонами та кутом між ними).

3. Властивості серединного перпендикуляра

З рівності трикутників $△AOC$ і $△A^{\prime }OC$ випливає рівність відповідних елементів:

• $AC=A^{\prime }C$, тобто точка $C$ є серединою відрізка $A{A}^{\prime }$;
• $\angle ACO=\angle A^{\prime }CO$.

Кути $\angle ACO$ та $\angle A^{\prime }CO$ є суміжними, отже, їхня сума становить $180^{\circ }$:
$\angle ACO+\angle A^{\prime }CO=180^{\circ }$
Оскільки ці кути рівні, маємо:
$\angle ACO=\angle A^{\prime }CO=\frac{180^{\circ }}{2}=90^{\circ }$
Це означає, що пряма $OK\perp A{A}^{\prime }$.

4. Висновок про осьову симетрію

Пряма $OK$ перпендикулярна до відрізка $A{A}^{\prime }$ і проходить через його середину (точку $C$), тобто пряма $OK$ є серединним перпендикуляром до відрізка $A{A}^{\prime }$.

За означенням осьової симетрії дві точки називаються симетричними відносно прямої, якщо ця пряма є серединним перпендикуляром до відрізка, що сполучає дані точки.

Отже, точки $A$ та $A^{\prime }$ симетричні відносно прямої, яка містить бісектрису кута. Твердження доведено.

Відповідь:
Доведено. Точки $A$ та $A^{\prime }$ симетричні відносно прямої, яка містить бісектрису кута, оскільки ця пряма є серединним перпендикуляром до відрізка $A{A}^{\prime }$.