Завдання № 23. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Сторони трикутника відносяться як $4:2:3$. Знайдіть ці сторони, якщо периметр трикутника, утвореного середніми лініями даного трикутника, дорівнює $45\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Введення коефіцієнта пропорційності

Нехай сторони даного трикутника $△ABC$ дорівнюють відповідно:
$AB=4x,BC=2x,AC=3x$
де $x>0$ — коефіцієнт пропорційності (в сантиметрах).

2. Застосування теореми про середню лінію трикутника

Середньою лінією трикутника називають відрізок, який сполучає середини двох його сторін. За властивістю середньої лінії трикутника, вона паралельна третій стороні, а її довжина дорівнює половині цієї сторони.

Позначимо точки $F$, $E$, $D$ як середини сторін $AB$, $BC$ та $AC$ відповідно. Тоді сторони утвореного трикутника $△DEF$ дорівнюють:
$FE=\frac{1}{2}\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 3x=1,5x$
$DF=\frac{1}{2}\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 2x=x$
$ED=\frac{1}{2}\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 4x=2x$

3. Знаходження периметра та значення змінної $x$

Периметр трикутника $△DEF$ складається із суми довжин його сторін:
$P_{△DEF}=FE+DF+ED=1,5x+x+2x=4,5x$

За умовою задачі периметр цього трикутника дорівнює $45\text{ см}$. Складаємо рівняння:
$4,5x=45$
$x=\frac{45}{4,5}$
$x=10$

(Зауважимо: периметр трикутника, утвореного середніми лініями, завжди вдвічі менший за периметр початкового трикутника: $P_{△ABC}=2\cdot P_{△DEF}=2\cdot 45=90\text{ см}$, звідки $4x+2x+3x=9x=90⟹x=10$).

4. Обчислення довжин сторін даного трикутника

Підставимо отримане значення $x=10\text{ см}$ у вирази для сторін початкового трикутника:
$AB=4\cdot 10=40\text{ см}$
$BC=2\cdot 10=20\text{ см}$
$AC=3\cdot 10=30\text{ см}$

Відповідь:
$20\text{ см}$, $30\text{ см}$, $40\text{ см}$.