Завдання № 23.8. § 23. Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи подібні між собою:

1) два рівносторонніх трикутники;

2) два правильних шестикутники?

Покроковий розв’язок:

Два многокутники з однаковою кількістю сторін називають подібними, якщо їхні відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні.

1. Дослідження пари рівносторонніх трикутників

• Кути: У будь-якому рівносторонньому трикутнику всі кути рівні між собою і становлять:
  $\frac{180^{\circ }}{3}=60^{\circ }$
  Отже, відповідні кути будь-яких двох рівносторонніх трикутників рівні.
• Сторони: Нехай сторона першого рівностороннього трикутника дорівнює $a$, а сторона другого — $b$. Тоді відношення будь-якої пари відповідних сторін дорівнює:
  $\frac{a}{b}=k$
  де $k$ — коефіцієнт подібності. Отже, відповідні сторони пропорційні.

Оскільки відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні, будь-які два рівносторонніх трикутники є подібними.

2. Дослідження пари правильних шестикутників

• Кути: Кожен кут правильного $n$-кутника обчислюється за формулою $\frac{180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}$. Для правильного шестикутника ($n=6$):
  $\frac{180^{\circ }\cdot (6-2)}{6}=\frac{180^{\circ }\cdot 4}{6}=120^{\circ }$
  Усі внутрішні кути будь-якого правильного шестикутника дорівнюють $120^{\circ }$, тому відповідні кути двох таких фігур рівні.
• Сторони: Нехай сторона першого правильного шестикутника дорівнює $a_1$, а другого — $a_2$. Усі сторони правильного многокутника мають однакову довжину, тому відношення будь-яких відповідних сторін стале:
  $\frac{a_1}{a_2}=k$
  Тобто відповідні сторони є пропорційними.

Оскільки всі відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні, будь-які два правильних шестикутники є подібними.

Відповідь:

1) Так;

2) так.