Завдання № 23.7. § 23. Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи подібні між собою:

1) два квадрати;

2) два правильних десятикутники?

Покроковий розв’язок:

За означенням два многокутники називаються подібними, якщо їхні відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні.

1. Дослідження подібності двох квадратів
Нехай дано два довільних квадрати зі сторонами $a_1$ та $a_2$:

• Усі кути будь-якого квадрата прямі та дорівнюють $90^{\circ }$. Отже, відповідні кути обох квадратів є рівними:
  $90^{\circ }=90^{\circ }$
• У кожного квадрата всі чотири сторони рівні між собою. Відношення будь-якої сторони першого квадрата до відповідної сторони другого квадрата є сталим і дорівнює:
  $k=\frac{a_1}{a_2}$
  Оскільки відповідні кути рівні, а сторони пропорційні з коефіцієнтом $k$, будь-які два квадрати є подібними.

2. Дослідження подібності двох правильних десятикутників
Нехай дано два правильних десятикутники зі сторонами $b_1$ та $b_2$:

• За теоремою про суму кутів опуклого многокутника кожен внутрішній кут правильного $n$-кутника обчислюється за формулою:
  $\alpha =\frac{(n-2)\cdot 180^{\circ }}{n}$
  Для $n=10$ отримуємо:
  $\alpha =\frac{(10-2)\cdot 180^{\circ }}{10}=\frac{8\cdot 180^{\circ }}{10}=144^{\circ }$
  Кути будь-якого правильного десятикутника дорівнюють $144^{\circ }$, тому всі відповідні кути двох правильних десятикутників є рівними.
• У правильного десятикутника всі сторони рівні. Відношення кожної сторони першого десятикутника до відповідної сторони другого десятикутника є однаковим:
  $k=\frac{b_1}{b_2}$
  Оскільки відповідні кути рівні, а сторони пропорційні, будь-які два правильних десятикутники є подібними.

Відповідь:

1) Так;

2) так.