Завдання № 23.5. § 23. Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Фігура $F^{\prime }$ подібна фігурі $F^{\prime \prime }$ із коефіцієнтом $\frac{1}{5}$, а фігура $F$ подібна фігурі $F^{\prime }$ із коефіцієнтом $\frac{1}{3}$. З яким коефіцієнтом фігура $F$ подібна фігурі $F^{\prime \prime }$?

Покроковий розв’язок:
За означенням перетворення подібності, якщо фігура подібна іншій фігурі з певним коефіцієнтом $k$, то відстань між будь-якими двома точками цієї фігури дорівнює добутку коефіцієнта $k$ на відстань між відповідними точками другої фігури.

Нехай $X,Y$ — довільні точки фігури $F$, $X^{\prime },Y^{\prime }$ — відповідні їм точки фігури $F^{\prime }$, а $X^{\prime \prime },Y^{\prime \prime }$ — відповідні точки фігури $F^{\prime \prime }$.

1. Визначення лінійних співвідношень між фігурами:
Оскільки фігура $F^{\prime }$ подібна фігурі $F^{\prime \prime }$ із коефіцієнтом $k_1=\frac{1}{5}$, маємо:
$X^{\prime }{Y}^{\prime }=k_1\cdot X^{\prime \prime }{Y}^{\prime \prime }=\frac{1}{5}\cdot X^{\prime \prime }{Y}^{\prime \prime }$

Оскільки фігура $F$ подібна фігурі $F^{\prime }$ із коефіцієнтом $k_2=\frac{1}{3}$, маємо:
$XY=k_2\cdot X^{\prime }{Y}^{\prime }=\frac{1}{3}\cdot X^{\prime }{Y}^{\prime }$

2. Знаходження коефіцієнта подібності фігури $F$ до фігури $F^{\prime \prime }$:
Підставимо вираз для відстані $X^{\prime }{Y}^{\prime }$ у рівність для відстані $XY$:
$XY=\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{1}{5}\cdot X^{\prime \prime }{Y}^{\prime \prime }\right)=\left(\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{5}\right)\cdot X^{\prime \prime }{Y}^{\prime \prime }=\frac{1}{15}\cdot X^{\prime \prime }{Y}^{\prime \prime }$

Отже, коефіцієнт $k$ подібності фігури $F$ до фігури $F^{\prime \prime }$ дорівнює добутку коефіцієнтів $k_2$ та $k_1$:
$k=k_2\cdot k_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{15}$

Відповідь:
$\frac{1}{15}$