Завдання № 23.42. § 23. Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Бісектриси внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині $C$ трикутника $A B C$ перетинають пряму $A B$ у точках $L$ і $M$ відповідно. Доведіть, що якщо $C L = C M$ , то $A C^{2} + B C^{2} = 4 R^{2}$ , де $R$ — радіус кола, описаного навколо трикутника $A B C$ .

Покроковий розв’язок:

1. Дослідження кута між бісектрисами та трикутника $△ L C M$

Бісектриси внутрішнього і зовнішнього кутів при одній вершині взаємно перпендикулярні, оскільки вони ділять навпіл два суміжні кути, сума яких дорівнює $18 0^{\circ}$ :
$∠ L C M = 9 0^{\circ}$

За умовою задачі $C L = C M$ , отже, $△ L C M$ — прямокутний рівнобедрений трикутник з прямим кутом при вершині $C$ .
Звідси гострі кути цього трикутника дорівнюють по $4 5^{\circ}$ :
$∠ C L M = ∠ C M L = 4 5^{\circ}$

Оскільки точка $L$ лежить на прямій $A B$ (між точками $A$ і $B$ ), маємо:
$∠ B L C = 4 5^{\circ}$

2. Вираження кутів трикутника $△ A B C$ через параметр $α$

Позначимо внутрішній кут при вершині $C$ як $∠ B C A = 2 α$ .
Оскільки відрізок $C L$ — бісектриса кута $∠ B C A$ , отримуємо:
$∠ A C L = ∠ B C L = α$

Розглянемо трикутник $△ L B C$ :
Сума кутів трикутника дорівнює $18 0^{\circ}$ , тому:
$∠ L B C = 18 0^{\circ} - (∠ B L C + ∠ B C L) = 18 0^{\circ} - (4 5^{\circ} + α) = 13 5^{\circ} - α$

Оскільки точка $L$ лежить на відрізку $A B$ , то кут $∠ A B C = ∠ L B C = 13 5^{\circ} - α$ .

Тепер знайдемо кут $∠ B A C$ із трикутника $△ A B C$ :
$∠ B A C = 18 0^{\circ} - (∠ A B C + ∠ B C A) = 18 0^{\circ} - ((13 5^{\circ} - α) + 2 α) = 4 5^{\circ} - α$

3. Застосування узагальненої теореми синусів

За узагальненою теоремою синусів для $△ A B C$ :
$\frac{A C}{sin ∠ A B C} = 2 R та \frac{B C}{sin ∠ B A C} = 2 R$

Звідси виразимо довжини сторін $A C$ і $B C$ :
$A C = 2 R \cdot sin (13 5^{\circ} - α)$
$B C = 2 R \cdot sin (4 5^{\circ} - α)$

Використаємо формулу зведення $sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$ та зв’язок косинуса і синуса для додаткових кутів $sin (9 0^{\circ} + x) = cos x$ :
$sin (13 5^{\circ} - α) = sin (9 0^{\circ} + (4 5^{\circ} - α)) = cos (4 5^{\circ} - α)$

Отже:
$A C = 2 R \cdot cos (4 5^{\circ} - α)$

4. Обчислення суми квадратів сторін $A C^{2} + B C^{2}$

Підставимо знайдені вирази у суму квадратів:

A C^{2} + B C^{2} = (2 R \cdot cos (4 5^{\circ} - α))^{2} + (2 R \cdot sin (4 5^{\circ} - α))^{2} = 4 R^{2} \cdot cos^{2} (4 5^{\circ} - α) + 4 R^{2} \cdot sin^{2} (4 5^{\circ} - α) = 4 R^{2} \cdot (cos^{2} (4 5^{\circ} - α) + sin^{2} (4 5^{\circ} - α))

За основною тригонометричною тотожністю $cos^{2} φ + sin^{2} φ = 1$ , тому:
$A C^{2} + B C^{2} = 4 R^{2} \cdot 1 = 4 R^{2}$

Твердження доведено.

Відповідь:
Доведено, що $A C^{2} + B C^{2} = 4 R^{2}$ .

Завдання № 23.42. § 23. Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку