Завдання № 23.40. § 23. Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

1) Сторона правильного трикутника вдвічі менша від сторони іншого правильного трикутника. У скільки разів площа першого трикутника менша від площі другого?

2) Площа одного правильного трикутника у $16$ разів більша за площу другого правильного трикутника. У скільки разів сторона першого трикутника більша за сторону другого трикутника?

Покроковий розв’язок:

Будь-які два правильні трикутники є подібними між собою, оскільки всі їхні кути дорівнюють по $60^{\circ }$.

За теоремою про площі подібних фігур, відношення площ двох подібних многокутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності $k$, тобто квадрату відношення їхніх відповідних сторін:

Також площу правильного трикутника зі стороною $a$ можна обчислити за формулою:

З цієї формули видно, що площа правильного трикутника прямо пропорційна квадрату його сторони.

1. Знаходження відношення площ трикутників

Нехай сторона першого трикутника дорівнює $a_1$, а сторона другого — $a_2$. За умовою сторона першого трикутника вдвічі менша від сторони другого, тобто:

Знайдемо відношення площі другого трикутника $S_2$ до площі першого трикутника $S_1$:

Отже, площа першого трикутника менша від площі другого у $4$ рази.

2. Знаходження відношення сторін трикутників

Нехай площа першого трикутника дорівнює $S_1$, а другого — $S_2$. За умовою площа першого трикутника у $16$ разів більша за площу другого, тобто:

Оскільки відношення площ дорівнює квадрату відношення сторін:

Звідси знайдемо відношення відповідних сторін $a_1$ та $a_2$:

Отже, сторона першого трикутника більша за сторону другого у $4$ рази.

Відповідь:

1) У $4$ рази.

2) У $4$ рази.