Завдання № 23.39. § 23. Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

1) Сторона одного квадрата втричі більша за сторону іншого квадрата. У скільки разів площа першого квадрата більша за площу другого?

2) Площа першого квадрата у $25$ разів менша від площі другого. У скільки разів сторона першого квадрата менша від сторони другого?

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження відношення площ квадратів

Площа квадрата обчислюється за формулою:
$S=a^2$
де $a$ — довжина сторони квадрата.

Нехай сторона другого квадрата дорівнює $a_2$, тоді за умовою сторона першого квадрата дорівнює:
$a_1=3\cdot a_2$

Знайдемо площі обох квадратів:
$S_1=a_1^2=(3\cdot a_2{)}^2=9\cdot a_2^2$
$S_2=a_2^2$

Обчислимо відношення площі першого квадрата до площі другого:
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{9\cdot a_2^2}{a_2^2}=9$

Отже, площа першого квадрата у $9$ разів більша за площу другого.

(Також це випливає з теореми про те, що всі квадрати подібні між собою, а відношення їхніх площ дорівнює квадрату коефіцієнта подібності: $\frac{S_1}{S_2}=k^2=3^2=9$).

2. Знаходження відношення сторін квадратів

Нехай сторони першого та другого квадратів дорівнюють $a_1$ та $a_2$, а їхні площі — $S_1$ та $S_2$ відповідно.

За умовою площа першого квадрата у $25$ разів менша від площі другого:
$\frac{S_2}{S_1}=25$

Виразимо площі через сторони квадратів:
$\frac{a_2^2}{a_1^2}=25$

${\left(\frac{a_2}{a_1}\right)}^2=25$

Оскільки довжини сторін є додатними величинами:
$\frac{a_2}{a_1}=\sqrt{25}=5$

Звідси:
$a_2=5\cdot a_1\text{або}{a}_1=\frac{a_2}{5}$

Отже, сторона першого квадрата у $5$ разів менша від сторони другого.

Відповідь:

1) У $9$ разів;

2) у $5$ разів.