Завдання № 23.38. § 23. Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть площу квадрата, якщо сума радіусів його вписаного й описаного кіл дорівнює $7\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Зв’язок радіусів кіл зі стороною квадрата

Нехай сторона даного квадрата дорівнює $a$.

• Радіус кола, вписаного у квадрат, дорівнює половині його сторони:
  $r=\frac{a}{2}$
• Діагональ квадрата за теоремою Піфагора дорівнює $d=a\sqrt{2}$. Радіус кола, описаного навколо квадрата, дорівнює половині його діагоналі:
  $R=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

2. Знаходження сторони квадрата

За умовою задачі сума радіусів дорівнює $7\text{ см}$:
$r+R=7$

Підставимо вирази для $r$ та $R$:
$\frac{a}{2}+\frac{a\sqrt{2}}{2}=7$

Зведемо до спільного знаменника та винесемо $a$ за дужки:
$\frac{a(1+\sqrt{2})}{2}=7$

Помножимо обидві частини рівняння на $2$:
$a(1+\sqrt{2})=14$

Звідси знайдемо $a$:
$a=\frac{14}{\sqrt{2}+1}$

Позбудемося ірраціональності в знаменнику, помноживши чисельник і знаменник на спряжений вираз $(\sqrt{2}-1)$:
$a=\frac{14(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{14(\sqrt{2}-1)}{2-1}=14(\sqrt{2}-1)\text{ см}$

3. Обчислення площі квадрата

Площа квадрата визначається за формулою $S=a^2$:
$S=(14(\sqrt{2}-1){)}^2=14^2\cdot (\sqrt{2}-1{)}^2$

Застосуємо формулу квадрата різниці:
$S=196\cdot \left((\sqrt{2}{)}^2-2\cdot \sqrt{2}\cdot 1+1^2\right)=196\cdot (2-2\sqrt{2}+1)=196\cdot (3-2\sqrt{2})$

Розкриємо дужки:
$S=196\cdot 3-196\cdot 2\sqrt{2}=588-392\sqrt{2}{\text{ см}}^2$

Відповідь:
$(588-392\sqrt{2}){\text{ см}}^2$