Завдання № 23.37. § 23. Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Хорда завдовжки $8\sqrt{2}\text{ см}$ стягує дугу кола, градусна міра якої дорівнює $90^{\circ }$. Знайдіть довжину кола та площу круга, обмеженого цим колом.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення центрального кута та виду трикутника

Нехай точка $O$ — центр кола, а відрізок $AB$ — дана хорда, довжина якої дорівнює $8\sqrt{2}\text{ см}$.

Градусна міра дуги кола дорівнює градусній мірі відповідного центрального кута, що спирається на цю дугу. Отже:
$\angle AOB=90^{\circ }$

Відрізки $OA$ та $OB$ є радіусами кола:
$OA=OB=R$

Оскільки кут між радіусами дорівнює $90^{\circ }$, то $△AOB$ — прямокутний і рівнобедрений з прямим кутом при вершині $O$.

2. Обчислення радіуса кола

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника $△AOB$:
$O{A}^2+O{B}^2=A{B}^2$

Підставимо відомі значення:
$R^2+R^2=(8\sqrt{2}{)}^2$
$2R^2=64\cdot 2$
$2R^2=128$
$R^2=64$

Оскільки довжина радіуса є додатною величиною ($R>0$):
$R=\sqrt{64}=8\text{ см}$

3. Знаходження довжини кола

Довжина кола обчислюється за формулою $C=2\pi R$:
$C=2\cdot \pi \cdot 8=16\pi \text{ см}$

4. Знаходження площі круга

Площа круга, обмеженого цим колом, обчислюється за формулою $S=\pi R^2$:
$S=\pi \cdot 8^2=64\pi {\text{ см}}^2$

Відповідь: $16\pi \text{ см}$, $64\pi {\text{ см}}^2$.