Завдання № 23.36. § 23. Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Периметр паралелограма дорівнює $50\text{ см}$, а його сторони відносяться як $2:3$. Знайдіть площу паралелограма, якщо один з його кутів на $60^{\circ }$ більший за інший.

Покроковий розв’язок:

1. Знайдемо кути паралелограма

Нехай менший кут паралелограма $ABCD$ дорівнює $\angle A=x$. Тоді другий кут, прилеглий до тієї самої сторони, за умовою дорівнює $\angle B=x+60^{\circ }$.

Оскільки сума кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює $180^{\circ }$ (як внутрішні односторонні кути при паралельних прямих $AD$ і $BC$ та січній $AB$), маємо рівняння:
$x+(x+60^{\circ })=180^{\circ }$

$2x+60^{\circ }=180^{\circ }$

$2x=120^{\circ }$

$x=60^{\circ }$

Отже, гострий кут паралелограма дорівнює $\angle A=60^{\circ }$.

2. Знайдемо довжини сторін паралелограма

За умовою сторони паралелограма відносяться як $2:3$. Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює $k$ ($k>0$). Тоді сторони паралелограма дорівнюють:
$AB=CD=2k\text{ см},AD=BC=3k\text{ см}$

Периметр паралелограма обчислюється за формулою:
$P=2\cdot (AB+AD)$

Підставимо значення периметра в формулу:
$2\cdot (2k+3k)=50$

$2\cdot 5k=50$

$10k=50$

$k=5$

Обчислимо довжини сторін:
$AB=2\cdot 5=10\text{ см}$

$AD=3\cdot 5=15\text{ см}$

3. Обчислимо площу паралелограма

Площа паралелограма дорівнює добутку двох його сусідніх сторін на синус кута між ними:
$S=AB\cdot AD\cdot \sin \angle A$

Підставимо отримані значення:
$S=10\cdot 15\cdot \sin 60^{\circ }=150\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=75\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

Відповідь: $75\sqrt{3}{\text{ см}}^2$.