Завдання № 23.33. § 23. Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Периметри подібних чотирикутників відносяться як $4 : 3$ , а різниця їхніх найбільших сторін дорівнює $5 см$ . Знайдіть сторони обох чотирикутників, якщо відношення сторін одного з них дорівнює $2 : 2 : 3 : 5$ .

Покроковий розв’язок:

1. Визначення відношення сторін подібних многокутників

За означенням подібних многокутників, їхні відповідні сторони пропорційні, а відношення периметрів подібних фігур дорівнює коефіцієнту подібності $k$ :
$k = \frac{P _{1}}{P _{2}} = \frac{4}{3}$

Оскільки в подібних многокутниках відповідні сторони пропорційні, відношення довжин сторін для кожного з чотирикутників є однаковим і становить $2 : 2 : 3 : 5$ .

2. Складання рівняння для знаходження сторін

Нехай $x$ — коефіцієнт пропорційності для сторін меншого чотирикутника ( $x > 0$ ). Тоді сторони меншого чотирикутника дорівнюють:
$2 x см, 2 x см, 3 x см, 5 x см$

Оскільки відношення периметрів більшого чотирикутника до меншого дорівнює $\frac{4}{3}$ , то коефіцієнт подібності становить $\frac{4}{3}$ . Отже, сторони більшого чотирикутника у $\frac{4}{3}$ раза більші за відповідні сторони меншого:
$Сторона 1 = 2 x \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3} x см$
$Сторона 2 = 2 x \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3} x см$
$Сторона 3 = 3 x \cdot \frac{4}{3} = 4 x см$
$Сторона 4 = 5 x \cdot \frac{4}{3} = \frac{20}{3} x см$

Найбільшою стороною першого чотирикутника є $5 x см$ , а другого — $\frac{20}{3} x см$ . За умовою задачі різниця їхніх найбільших сторін становить $5 см$ . Складемо рівняння:
$\frac{20}{3} x - 5 x = 5$

Зведемо до спільного знаменника ліву частину:
$\frac{20 x - 15 x}{3} = 5$
$\frac{5 x}{3} = 5$
$5 x = 15$
$x = 3$

3. Обчислення довжин сторін обох чотирикутників

Підставимо значення $x = 3$ у вирази для сторін меншого чотирикутника:
$2 \cdot 3 = 6 см$
$2 \cdot 3 = 6 см$
$3 \cdot 3 = 9 см$
$5 \cdot 3 = 15 см$

Обчислимо довжини сторін більшого чотирикутника:
$\frac{8 \cdot 3}{3} = 8 см$
$\frac{8 \cdot 3}{3} = 8 см$
$4 \cdot 3 = 12 см$
$\frac{20 \cdot 3}{3} = 20 см$

Відповідь: $6 см$ , $6 см$ , $9 см$ , $15 см$ та $8 см$ , $8 см$ , $12 см$ , $20 см$ .

Завдання № 23.33. § 23. Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку