Завдання № 23.32. § 23. Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Периметри подібних п’ятикутників відносяться як $2:3$, а сума їх найбільших сторін дорівнює $30\text{ см}$. Знайдіть сторони обох п’ятикутників, якщо відношення сторін одного з них дорівнює $2:2:3:4:6$.

Покроковий розв’язок:

1. Властивість подібних многокутників

За означенням та властивістю подібних фігур:

• Відношення периметрів подібних многокутників дорівнює відношенню їхніх відповідних сторін (коефіцієнту подібності):

• Відповідні сторони подібних багатокутників пропорційні, тому відношення сторін для обох п’ятикутників є однаковим і становить $2:2:3:4:6$.

2. Вираження сторін через коефіцієнт пропорційності

Нехай для більшого п’ятикутника коефіцієнт пропорційності сторін дорівнює $x$ ($x>0$). Тоді сторони більшого п’ятикутника становлять:

Найбільша сторона більшого п’ятикутника дорівнює $6x$.

Оскільки відношення сторін меншого п’ятикутника до більшого дорівнює $\frac{2}{3}$, кожна сторона меншого п’ятикутника становить $\frac{2}{3}$ від відповідної сторони більшого.

Зокрема, найбільша сторона меншого п’ятикутника дорівнює:

3. Складання та розв’язання рівняння

За умовою задачі сума найбільших сторін обох п’ятикутників дорівнює $30\text{ см}$:

4. Обчислення довжин сторін обох п’ятикутників

Обчислимо довжини сторін більшого п’ятикутника:

Обчислимо довжини відповідних сторін меншого п’ятикутника:

Відповідь:
Сторони меншого п’ятикутника: $4\text{ см}$, $4\text{ см}$, $6\text{ см}$, $8\text{ см}$, $12\text{ см}$; сторони більшого п’ятикутника: $6\text{ см}$, $6\text{ см}$, $9\text{ см}$, $12\text{ см}$, $18\text{ см}$.