Завдання № 23.31. § 23. Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що перетворення подібності переводить коло в коло.

Покроковий розв’язок:

1. Означення та вихідні дані:
Нехай задано коло з центром у точці $O$ і радіусом $r>0$. За означенням, коло — це геометричне місце точок площини, відстань від яких до центра $O$ дорівнює $r$. Отже, для будь-якої точки $A$, що належить даному колу, виконується рівність:
$OA=r$

Розглянемо перетворення подібності з коефіцієнтом $k$ ($k>0$). За означенням перетворення подібності, для будь-яких двох точок $X$ і $Y$ та їхніх образів $X_1$ і $Y_1$ виконується співвідношення:
$X_1{Y}_1=k\cdot XY$

2. Образ довільної точки кола:
Нехай при заданому перетворенні подібності центр кола $O$ переходить у точку $O_1$, а довільна точка $A$, що лежить на колі, переходить у точку $A_1$.

Тоді відстань між образами дорівнює:
$O_1{A}_1=k\cdot OA$

Оскільки точка $A$ належить колу, то $OA=r$. Підставимо це значення:
$O_1{A}_1=k\cdot r$

Оскільки коефіцієнт подібності $k$ і радіус $r$ є сталими додатними величинами, добуток $k\cdot r$ також є сталою величиною. Це означає, що образ будь-якої точки $A$ вихідного кола віддалений від фіксованої точки $O_1$ на одну й ту саму відстань $k\cdot r$. Тобто точка $A_1$ належить колу із центром $O_1$ і радіусом $R_1=k\cdot r$.

3. Обернене міркування:
Перетворення подібності є взаємно однозначним відображенням площини на себе (бієкцією). Для нього існує обернене перетворення, яке також є перетворенням подібності з коефіцієнтом $\frac{1}{k}$.

Якщо взяти довільну точку $B_1$, що лежить на колі із центром $O_1$ і радіусом $k\cdot r$ (тобто $O_1{B}_1=k\cdot r$), то її прообраз $B$ задовольняє умову:
$OB=\frac{1}{k}\cdot O_1{B}_1=\frac{1}{k}\cdot (k\cdot r)=r$

Це означає, що точка $B$ обов’язково належить початковому колу.

Таким чином, образом кола із центром $O$ та радіусом $r$ є коло із центром $O_1$ та радіусом $k\cdot r$. Твердження доведено.

Відповідь:
Доведено, що перетворення подібності з коефіцієнтом $k$ переводить коло із центром $O$ і радіусом $r$ у коло із центром $O_1$ і радіусом $k\cdot r$.