Завдання № 23.30. § 23. Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи подібні два ромби, якщо в одного з них менша діагональ дорівнює стороні, а в другого — більша діагональ у $3$ разів більша за сторону?

Покроковий розв’язок:

Два ромби подібні тоді й тільки тоді, коли їхні відповідні кути рівні (оскільки всі сторони будь-якого ромба рівні між собою, тому відношення відповідних сторін двох ромбів завжди стале).

1. Дослідження кутів першого ромба
Нехай сторона першого ромба $A B C D$ дорівнює $a$ , а менша діагональ $B D = a$ .
У трикутнику $A B D$ :
$A B = A D = B D = a$
Отже, $△ A B D$ — рівносторонній (правильний), звідки всі його кути дорівнюють $6 0^{\circ}$ :
$∠ A = 6 0^{\circ}$
Оскільки сусідні кути ромба утворюють внутрішні односторонні кути при паралельних прямих і їхня сума дорівнює $18 0^{\circ}$ :
$∠ B = 18 0^{\circ} - ∠ A = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$
Протилежні кути ромба рівні, отже:
$∠ C = ∠ A = 6 0^{\circ}, ∠ D = ∠ B = 12 0^{\circ}$
Кути першого ромба становлять $6 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$ .

2. Дослідження кутів другого ромба
Нехай сторона другого ромба $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ дорівнює $b$ , а більша діагональ $A_{1} C_{1} = b 3$ .
Розглянемо рівнобедрений трикутник $A_{1} B_{1} C_{1}$ , у якому $A_{1} B_{1} = B_{1} C_{1} = b$ та $A_{1} C_{1} = b 3$ .

Застосуємо теорему косинусів для кута $B_{1}$ :
$A_{1} C_{1}^{2} = A_{1} B_{1}^{2} + B_{1} C_{1}^{2} - 2 \cdot A_{1} B_{1} \cdot B_{1} C_{1} \cdot cos ∠ B_{1}$

Виразимо $cos ∠ B_{1}$ :

cos ∠ B_{1} = \frac{A _{1} B _{1}^{2} + B _{1} C _{1}^{2} - A _{1} C _{1}^{2}}{2 \cdot A _{1} B _{1} \cdot B _{1} C _{1}} = \frac{b ^{2} + b ^{2} - ( b 3 ) ^{2}}{2 \cdot b \cdot b} = \frac{2 b ^{2} - 3 b ^{2}}{2 b ^{2}} = - \frac{b ^{2}}{2 b ^{2}} = - \frac{1}{2}

Оскільки $cos ∠ B_{1} = - \frac{1}{2}$ , кут є тупим:
$∠ B_{1} = 12 0^{\circ}$
Знайдемо гострий кут другого ромба:
$∠ A_{1} = 18 0^{\circ} - ∠ B_{1} = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$
Отже, кути другого ромба також становлять $6 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$ .

3. Висновок
Оскільки кути одного ромба відповідно дорівнюють кутам другого ромба ( $6 0^{\circ}$ та $12 0^{\circ}$ ), а всі сторони ромбів пропорційні, ці два ромби є подібними.

Відповідь:
Так, подібні.

Завдання № 23.30. § 23. Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку