Завдання № 23.29. § 23. Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що перетворення подібності переводить ромб у ромб, кути якого дорівнюють кутам даного.

Покроковий розв’язок:

1. Властивості перетворення подібності
Нехай дано ромб $ABCD$, і внаслідок деякого перетворення подібності з коефіцієнтом $k$ ($k>0$) його вершини $A$, $B$, $C$, $D$ переходять відповідно у точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$. Чотирикутник $ABCD$ переходить у чотирикутник $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$.

За означенням перетворення подібності:

• відстань між будь-якими двома образами точок змінюється в $k$ разів порівняно з відстанню між їхніми прообразами;
• перетворення подібності зберігає величини кутів між відповідними променями.

2. Доведення рівності сторін утвореного чотирикутника
Оскільки фігура $ABCD$ є ромбом, за означенням ромба всі його сторони рівні:
$AB=BC=CD=DA$

За властивістю перетворення подібності довжини сторін чотирикутника $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ дорівнюють:
$A_1{B}_1=k\cdot AB$
$B_1{C}_1=k\cdot BC$
$C_1{D}_1=k\cdot CD$
$D_1{A}_1=k\cdot DA$

Оскільки $AB=BC=CD=DA$, маємо:
$A_1{B}_1=B_1{C}_1=C_1{D}_1=D_1{A}_1$

Чотирикутник, у якого всі сторони рівні, за означенням є ромбом. Отже, $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ — ромб.

3. Збереження величин кутів
Оскільки перетворення подібності зберігає градусні міри кутів, кути утвореного ромба $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ дорівнюють відповідним кутам початкового ромба $ABCD$:
$\angle A_1=\angle A,\angle B_1=\angle B,\angle C_1=\angle C,\angle D_1=\angle D$

Таким чином, перетворення подібності переводить довільний ромб $ABCD$ у ромб $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$, кути якого відповідно дорівнюють кутам даного ромба, що й треба було довести.

Відповідь:
Твердження доведено. За властивостями перетворення подібності всі сторони многокутника пропорційно змінюються в $k$ разів (тому чотирикутник залишається рівностороннім, тобто ромбом), а кути зберігають свою величину.