Завдання № 23.24. § 23. Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що перетворення подібності переводить прямокутник у прямокутник, сторони якого пропорційні сторонам даного.

Покроковий розв’язок:

1. Означення та властивості перетворення подібності
Нехай дано прямокутник $ABCD$, а перетворення подібності з коефіцієнтом $k$ ($k>0$) переводить точки $A$, $B$, $C$, $D$ у точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ відповідно.

За основними властивостями перетворення подібності:

1) Перетворення подібності переводить прямі у прямі, промені у промені, відрізки у відрізки, зберігаючи порядок взаємного розміщення точок. Отже, образом чотирикутника $ABCD$ є чотирикутник $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$.

2) Відстань між будь-якими двома точками-образами змінюється в $k$ разів порівняно з відстанню між відповідними прообразами:
$A_1{B}_1=k\cdot AB,B_1{C}_1=k\cdot BC,C_1{D}_1=k\cdot CD,A_1{D}_1=k\cdot AD$

3) Перетворення подібності зберігає величини кутів між відповідними променями.

2. Доведення того, що образ є прямокутником
За умовою, $ABCD$ — прямокутник, тому всі його внутрішні кути прямі:
$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^{\circ }$

Оскільки перетворення подібності зберігає величину кутів:
$\angle A_1=\angle A=90^{\circ },\angle B_1=\angle B=90^{\circ },\angle C_1=\angle C=90^{\circ },\angle D_1=\angle D=90^{\circ }$

Чотирикутник, у якого всі кути прямі, за означенням є прямокутником. Отже, $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ — прямокутник.

3. Пропорційність сторін
З рівностей для довжин сторін маємо:
$\frac{A_1{B}_1}{AB}=k,\frac{B_1{C}_1}{BC}=k,\frac{C_1{D}_1}{CD}=k,\frac{A_1{D}_1}{AD}=k$

Звідси випливає рівність відношень відповідних сторін:
$\frac{A_1{B}_1}{AB}=\frac{B_1{C}_1}{BC}=\frac{C_1{D}_1}{CD}=\frac{A_1{D}_1}{AD}=k$

Це доводить, що сторони прямокутника $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ пропорційні відповідним сторонам прямокутника $ABCD$.

Відповідь:
Твердження доведено: образ прямокутника при перетворенні подібності є прямокутником, оскільки всі його кути залишаються рівними $90^{\circ }$, а відповідні сторони пропорційні з коефіцієнтом подібності $k$.