Завдання № 23.21. § 23. Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи можна стверджувати, що два чотирикутники подібні, якщо сторони одного з них відповідно пропорційні сторонам другого? Наведіть приклади.

Покроковий розв’язок:

1. Теоретичне обґрунтування
За означенням подібних многокутників, два многокутники називаються подібними, якщо в них:

1) відповідні кути рівні;

2) відповідні сторони пропорційні.

Для трикутників рівність відповідних кутів автоматично випливає з пропорційності трьох пар відповідних сторін (за третьою ознакою подібності трикутників). Проте для чотирикутників (та будь-яких многокутників із кількістю сторін $n\ge 4$) пропорційності лише сторін недостатньо, оскільки чотирикутник не є жорсткою фігурою і його кути можуть змінюватися за незмінних довжин сторін.

Отже, стверджувати, що два чотирикутники подібні лише на основі пропорційності їхніх сторін, не можна.

2. Контрприклади

• Приклад 1 (квадрат і ромб):
  Розглянемо квадрат зі стороною $2\text{ см}$ і ромб зі стороною $4\text{ см}$, гострий кут якого дорівнює $60^{\circ }$.
  Усі сторони квадрата відносяться до відповідних сторін ромба як:
  $\frac{2}{4}=\frac{2}{4}=\frac{2}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
  Сторони фігур пропорційні. Проте у квадрата всі кути дорівнюють $90^{\circ }$, а у ромба кути становлять $60^{\circ }$ та $120^{\circ }$. Оскільки відповідні кути не є рівними, ці фігури не є подібними.

• Приклад 2 (прямокутник і паралелограм):
  Розглянемо прямокутник зі сторонами $3\text{ см}$ та $4\text{ см}$ і паралелограм (відмінний від прямокутника) зі сторонами $6\text{ см}$ та $8\text{ см}$.
  Співвідношення відповідних сторін:
  $\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
  Сторони пропорційні, проте кути прямокутника дорівнюють по $90^{\circ }$, тоді як кути даного паралелограма не дорівнюють $90^{\circ }$. Отже, відповідні кути не рівні, тому чотирикутники не подібні.

Відповідь:
Ні, стверджувати не можна. Для подібності чотирикутників необхідна не лише пропорційність відповідних сторін, але й рівність відповідних кутів. Прикладом є квадрат зі стороною $2\text{ см}$ і ромб зі стороною $4\text{ см}$ з гострим кутом $60^{\circ }$ (або прямокутник зі сторонами $3\text{ см}$ і $4\text{ см}$ та паралелограм зі сторонами $6\text{ см}$ і $8\text{ см}$ із непрямими кутами).