Завдання № 23.20. § 23. Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи можна стверджувати, що два чотирикутники подібні, якщо кути одного з них відповідно дорівнюють кутам іншого? Наведіть приклади.

Покроковий розв’язок:

1. Теоретичне обґрунтування
За означенням, два многокутники (зокрема чотирикутники) називаються подібними, якщо:

1) їхні відповідні кути рівні;

2) відповідні сторони пропорційні.

На відміну від трикутників, для яких за першою ознакою подібності рівності двох кутів достатньо, для чотирикутників рівність лише відповідних кутів не гарантує пропорційності відповідних сторін. Тому стверджувати про подібність таких чотирикутників не можна.

2. Приклади (контрприклади)

Приклад 1: Квадрат і прямокутник
Розглянемо квадрат зі стороною $a$ та прямокутник зі сторонами $a$ і $2a$:

• Усі кути квадрата дорівнюють $90^{\circ }$.
• Усі кути прямокутника також дорівнюють $90^{\circ }$.
  Отже, відповідні кути цих чотирикутників рівні.

Перевіримо відношення відповідних сторін:

• Відношення першої пари сторін: $\frac{a}{a}=1$
• Відношення другої пари сторін: $\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$

Оскільки $1\ne \frac{1}{2}$, відповідні сторони не є пропорційними, а отже, квадрат і прямокутник не є подібними.

Приклад 2: Ромб і паралелограм
Розглянемо ромб із гострим кутом $60^{\circ }$ (і тупим кутом $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$) та паралелограм із такими самими кутами $60^{\circ }$ і $120^{\circ }$, але з нерівними суміжними сторонами.
Кути обох чотирикутників відповідно рівні, проте у ромба всі сторони рівні між собою, а в паралелограма — ні, тому сторони не утворюють пропорції. Отже, ромб і такий паралелограм також не подібні.

Відповідь:
Ні, стверджувати не можна. Наприклад, будь-який квадрат і прямокутник (який не є квадратом) мають відповідно рівні кути (по $90^{\circ }$), але не є подібними, оскільки їхні сторони не пропорційні.