Завдання № 23.19. § 23. Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чотирикутники $KLMN$ і $K^{\prime }{L}^{\prime }{M}^{\prime }{N}^{\prime }$ подібні. Відомо, що $\angle K^{\prime }=20^{\circ }$, $\angle L=100^{\circ }$, $\angle M^{\prime }=140^{\circ }$. Знайдіть невідомі кути обох чотирикутників.

Покроковий розв’язок:

1. Властивість відповідних кутів подібних многокутників
За означенням подібності многокутників, у подібних фігур відповідні кути рівні.

Оскільки чотирикутник $KLMN$ подібний до чотирикутника $K^{\prime }{L}^{\prime }{M}^{\prime }{N}^{\prime }$, відповідними є вершини $K$ і $K^{\prime }$, $L$ і $L^{\prime }$, $M$ і $M^{\prime }$, $N$ і $N^{\prime }$.

Звідси маємо рівність відповідних кутів:

2. Знаходження кутів $\angle N$ та $\angle N^{\prime }$ за теоремою про суму кутів чотирикутника
Сума внутрішніх кутів будь-якого опуклого чотирикутника дорівнює $360^{\circ }$:
$\angle K+\angle L+\angle M+\angle N=360^{\circ }$

Обчислимо градусну міру кута $\angle N$:

Оскільки відповідні кути подібних чотирикутників рівні, знаходимо невідомий кут $\angle N^{\prime }$:
$\angle N^{\prime }=\angle N=100^{\circ }$

Відповідь:
Невідомі кути чотирикутника $KLMN$: $\angle K=20^{\circ }$, $\angle M=140^{\circ }$, $\angle N=100^{\circ }$.
Невідомі кути чотирикутника $K^{\prime }{L}^{\prime }{M}^{\prime }{N}^{\prime }$: $\angle L^{\prime }=100^{\circ }$, $\angle N^{\prime }=100^{\circ }$.