Завдання № 23.10. § 23. Перетворення подібності та його властивості. Подібність фігур (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Периметри двох правильних п’ятикутників відносяться як $2:3$. Сторона п’ятикутника з меншим периметром дорівнює $12\text{ см}$. Знайдіть сторону п’ятикутника з більшим периметром.

Покроковий розв’язок:

1. Властивість периметра правильного многокутника
Усі сторони правильного многокутника рівні між собою за означенням. Периметр правильного $n$-кутника зі стороною $a$ обчислюється за формулою:
$P=n\cdot a$
Оскільки розглядаються правильні п’ятикутники ($n=5$), позначимо сторони п’ятикутників як $a_1$ та $a_2$, а їхні периметри — відповідно $P_1$ та $P_2$:
$P_1=5\cdot a_1,P_2=5\cdot a_2$

2. Відношення периметрів і сторін
Знайдемо відношення периметрів п’ятикутників:
$\frac{P_1}{P_2}=\frac{5\cdot a_1}{5\cdot a_2}=\frac{a_1}{a_2}$
Отже, периметри двох правильних многокутників з однаковою кількістю сторін відносяться так само, як і довжини їхніх сторін (це відношення також дорівнює коефіцієнту подібності фігур).

3. Знаходження довжини більшої сторони
За умовою $\frac{P_1}{P_2}=\frac{2}{3}$, а довжина меншої сторони $a_1=12\text{ см}$.

Складемо пропорцію:
$\frac{12}{a_2}=\frac{2}{3}$
Використовуючи основну властивість пропорції (добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх):
$2\cdot a_2=12\cdot 3$
$2\cdot a_2=36$
$a_2=\frac{36}{2}$
$a_2=18\text{ см}$

Відповідь:
$18\text{ см}$.