Завдання № 22. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Дано два паралелограми $A B C D$ і $A B_{1} C_{1} D_{1}$ , які мають спільну вершину $A$ . Доведіть, що:
$C C_{1} \leq B B_{1} + D D_{1}$

Покроковий розв’язок:

1. Застосування правила паралелограма для додавання векторів

Розглянемо вектори, що виходять зі спільної вершини $A$ .
За правилом паралелограма діагональ паралелограма, проведена зі спільної вершини, дорівнює сумі векторів його сторін:

Для паралелограма $A B C D$ :
$A C = A B + A D$
Для паралелограма $A B_{1} C_{1} D_{1}$ :
$A C_{1} = A B_{1} + A D_{1}$

2. Вираження вектора $C C_{1}$

За правилом віднімання векторів, вектор $C C_{1}$ можна записати як різницю векторів $A C_{1}$ та $A C$ :
$C C_{1} = A C_{1} - A C$

Підставимо утворені раніше вирази для $A C_{1}$ та $A C$ :
$C C_{1} = (A B_{1} + A D_{1}) - (A B + A D)$

Згрупуємо відповідні доданки:
$C C_{1} = (A B_{1} - A B) + (A D_{1} - A D)$

За означенням різниці векторів зі спільним початком:
$A B_{1} - A B = B B_{1}$
$A D_{1} - A D = D D_{1}$

Звідси отримуємо векторну рівність:
$C C_{1} = B B_{1} + D D_{1}$

3. Оцінка довжин векторів за нерівністю трикутника

Довжина вектора дорівнює довжині відповідного відрізка:
$∣ C C_{1} ∣ = C C_{1}, ∣ B B_{1} ∣ = B B_{1}, ∣ D D_{1} ∣ = D D_{1}$

За властивістю модуля суми векторів (нерівність трикутника для векторів), модуль суми двох векторів не перевищує суми їхніх модулів:
$∣ a + b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣$

Застосуємо цю нерівність до векторів $B B_{1}$ і $D D_{1}$ :
$∣ B B_{1} + D D_{1} ∣ \leq ∣ B B_{1} ∣ + ∣ D D_{1} ∣$

Оскільки $∣ B B_{1} + D D_{1} ∣ = ∣ C C_{1} ∣ = C C_{1}$ , маємо:
$C C_{1} \leq B B_{1} + D D_{1}$

Нерівність повністю доведено.

Відповідь: Доведено.

Завдання № 22. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку