Завдання № 22. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Накресліть тупокутний трикутник $ABC$ з тупим кутом $C$. Побудуйте трикутник, симетричний трикутнику $ABC$ відносно прямої $BC$.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз властивостей осьової симетрії
Пряма $BC$ є віссю симетрії.
Оскільки вершини $B$ і $C$ лежать на самій осі симетрії, при симетрії відносно прямої $BC$ вони переходять самі в себе:

• точка $B$ переходить у точку $B$;
• точка $C$ переходить у точку $C$.

Таким чином, для побудови образу трикутника $ABC$ достатньо побудувати точку $A^{\prime }$, симетричну вершині $A$ відносно прямої $BC$.

2. Послідовність побудови

1) Будуємо довільний тупокутний трикутник $ABC$ із тупим кутом при вершині $C$ ($\angle ACB>90^{\circ }$).

2) Продовжуємо сторону $BC$ за точку $C$, отримуючи пряму $BC$. Оскільки кут $C$ є тупим, висота з вершини $A$ опускається на продовження сторони $BC$.

3) З вершини $A$ проводимо перпендикуляр $AK$ до прямої $BC$ ($AK\perp BC$, де $K$ — точка перетину перпендикуляра з прямою $BC$).

4) На продовженні променя $AK$ за точку $K$ відкладаємо відрізок $K{A}^{\prime }$, рівний відрізку $AK$ ($K{A}^{\prime }=KA$).

5) Точка $A^{\prime }$ є симетричною точці $A$ відносно прямої $BC$.

6) Сполучаємо точку $A^{\prime }$ з точками $B$ і $C$.

Отриманий трикутник $A^{\prime }BC$ є шуканим.

3. Обґрунтування
За означенням осьової симетрії:

• Пряма $BC$ перпендикулярна до відрізка $A{A}^{\prime }$ ($AK\perp BC$).
• Пряма $BC$ проходить через середину відрізка $A{A}^{\prime }$ ($AK=K{A}^{\prime }$).

Отже, точка $A^{\prime }$ симетрична точці $A$ відносно прямої $BC$. Оскільки точки $B$ і $C$ належать осі симетрії, вони симетричні самі собі. Таким чином, $△A^{\prime }BC$ симетричний $△ABC$ відносно прямої $BC$.

Відповідь:
Трикутник $A^{\prime }BC$ — шуканий трикутник, симетричний тупокутному трикутнику $ABC$ відносно прямої $BC$.