Завдання № 22. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Побудуйте рівнобедрений трикутник, у якого синус кута при вершині дорівнює $0,4$.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз задачі
Нехай шуканий рівнобедрений трикутник — $△AMK$ з основою $MK$ та вершиною $A$, тобто $AM=AK$. За умовою, синус кута при вершині дорівнює $0,4$:
$\sin \angle A=0,4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$

За означенням синуса гострого кута прямокутного трикутника, синус дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи. Отже, кут $A$ можна побудувати як гострий кут прямокутного трикутника $ACB$ ($\angle C=90^{\circ }$), у якого катет $CB=2$ одиничні відрізки, а гіпотенуза $AB=5$ одиничних відрізків:
$\sin \angle A=\frac{CB}{AB}=\frac{2}{5}=0,4$

Побудувавши кут $A$, достатньо відкласти на його сторонах рівні відрізки довільної довжини $AM=AK$ та сполучити точки $M$ і $K$, щоб отримати шуканий рівнобедрений трикутник $△AMK$.

2. План і кроки побудови

1) Обираємо довільний одиничний відрізок $e$.

2) Будуємо прямий кут із вершиною в точці $C$ ($\angle C=90^{\circ }$).

3) На одній зі сторін прямого кута відкладаємо відрізок $CB=2\cdot e$.

4) Із центра в точці $B$ розхилом циркуля, що дорівнює $5\cdot e$, проводимо дугу кола до перетину з іншою стороною прямого кута в точці $A$. Отримуємо прямокутний $△ACB$, у якому $\sin \angle A=\frac{CB}{AB}=\frac{2}{5}=0,4$.

5) На сторонах кута $A$ (променях $AC$ та $AB$) відкладаємо рівні відрізки довільної довжини: $AM=AK$.

6) Проводимо відрізок $MK$.

3. Обґрунтування
У прямокутному трикутнику $ACB$ ($\angle C=90^{\circ }$):
$\sin \angle A=\frac{CB}{AB}=\frac{2}{5}=0,4$

Оскільки за побудовою відрізки $AM$ і $AK$ лежать на променях $AC$ та $AB$ відповідно, кут $\angle MAK$ збігається з кутом $\angle CAB$, отже:
$\sin \angle MAK=\sin \angle A=0,4$

Оскільки відрізки $AM=AK$, трикутник $△MAK$ є рівнобедреним з основою $MK$. Отже, $△MAK$ — шуканий.

Відповідь: Побудовано рівнобедрений трикутник $△MAK$, у якого $AM=AK$ та $\sin \angle A=0,4$.